4.4 数学归纳法讲义 2023--2024年高中数学人教A版2019选择性必修第二册讲义

数学归纳法 本讲义整体上难度偏难，题目有一定的分层，题量略大！ 1 数学归纳法的概念 一般地，证明一个与正整数有关的命题，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当时命题成立； (2)(归纳递推)以“当时命题成立”为条件，推出“当时命题也成立”； 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从开始的所有正整数都成立，这种证明方法称为数学归纳法. PS 用数学归纳法证明，两个步骤缺一不可. 2 数学归纳法的运用 数学归纳法证明的对象是与正整数有关的命题，比如：与正整数有关的等式或不等式的证明，求数列的通项公式，与数列有关的不等关系证明，整除问题，函数不等式等. 在运用数学归纳法证明时要注意以下几点 ① 第一步归纳奠基中的不一定是； ② 当证明从到时，所证明的式子不一定只增加一项； ③ 在证明第二步中，强调两个“凑”，一是“凑”假设，在时的式子中凑出的式子(确定两个式子的“差项”；二是“凑”结论，明确时要证明的目标，在这个过程中常用到比较法、分析法等，不等式证明中还会用到放缩法)； ④ 要注意“观察---归纳—猜想---证明”的思维模式和由特殊到一般的数学思想. 【题型一】 等式的证明 【典题1】请用数学归纳法证明：． 巩固练习 1 (★★) 用数学归纳法证明： 2 (★★) 求证：． 3(★★) 用数学归纳法证明：． 4(★★) 是否存在使等式对一切都成立若不存在，说明理由；若存在，用数学归纳法证明你的结论． 【题型三】 不等式的证明 【典题1】 已知前三个式子分别为：，，，…． 照此规律，写出第个不等式，并证明． 巩固练习 1 (★★) 若属于自然数，，证明：． 2 (★★) 试用数学归纳法证明． 3 (★★★) 用数学归纳法证明：对一切大于的自然数，不等式成立． 4 (★★★) 请用数学归纳法证明不等式： 5 (★★★) 用数学归纳法证明，其中，，是大于的自然数． 【题型四】 数列与数学归纳法 【典题1】 在数列中，，． (1)分别计算的值； (2)由(1)猜想出数列的通项公式，并用数学归纳法加以证明． 【典题2】 已知数列是等差数列，， (1)求数列的通项； (2)设数列的通项其中，且，记是数列的前项和，试比较与的大小，并证明你的结论. 巩固练习 1 (★★) 设数列满足，． (1)计算，猜想的通项公式并用数学归纳法加以证明； (2)求数列的前项和． 2 (★★) 已知数列，首项，前项和足． (1)求出，并猜想的表达式； (2)用数学归纳法证明你的猜想． 3(★★) 设数列的前项和为，且对任意的正整数都满足． (1)求的值，猜想的表达式； (2)用数学归纳法证明(1)中猜想的的表达式的正确性． 4 (★★★★) 在数列中，，． (1)证明数列为等差数列，并求数列的通项公式； (2)用数学归纳法证明：． 5 (★★★★) 在与间插入个正数，使这个数成等比数列；又在间插入个正数，使这个数成等差数列．记,．求： (1)数列和的通项；(2)当时，比较与的大小，并证明你的结论． 【题型五】整除问题 【典题1】试证：当时，能被整除． 巩固练习 1 (★★) 用数学归纳法证明：能被整除． 2(★★) 用数学归纳法证明能被整除，其中． 3 (★★) 用数学归纳法证明：能被整除． 4 (★★★) 用数学归纳法证明能被整除)． 【题型六】 其他应用 【典题1】 整数．证明：当且时，． 【典题2】 平面内条直线，其中任何两条不平行，任何三条不共点． 设这条直线互相分割成条线段或射线，猜想的表达式并给出证明； 求证：这条直线把平面分成个区域． 巩固练习 1 (★★) 证明凸边形的对角线的条数：． 2 (★★) 平面内有条直线，其中任何两条不平行，任意三条不过同一点，证明交点的个数. 3 (★★) 求证： 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数学归纳法 本讲义整体上难度偏难，题目有一定的分层，题量略大！ 1 数学归纳法的概念 一般地，证明一个与正整数有关的命题，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当时命题成立； (2)(归纳递推)以“当时命题成立”为条件，推出“当时命题也成立”； 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从开始的所有正整数都成立，这种证明方法称为数学归纳法. PS 用数学归纳法证明，两个步骤缺一不可. 2 数学归纳法的运用 数学归纳法证明的对象是与正整数有关的命题，比如：与正整数有关的等式或不等式的证明，求数列的通项公式，与数列有关的不等关系证明，整除问题，函数不等式等. 在运用数学归纳法证明时要注意以下几点 ① 第一步归纳奠基中的不一定是； ② 当证明从到时，所证明的式子不一定只增加一项； ③ 在证明第二步中，强调两个“凑”，一是“凑”假设，在时的式子中凑出的式子