专题04 函数的性质与应用-2023-2024学年高一数学期末复习重难培优与单元检测（人教A版2019）

专题04 函数的性质与应用 目录 【知识梳理】 2 【重点保分】 4 【重点保分一】函数单调性的判断与证明 4 【重点保分二】函数的单调区间 8 【重点保分三】函数的最值求法 13 【重点保分四】函数奇偶性的判断与求值 18 【重点保分五】函数奇偶性求解析式 23 【重点保分六】函数的实际应用 28 【难点增分】 30 【难点增分一】函数单调性的简单应用（求参、解不等式） 30 【难点增分二】函数奇偶性与函数图象 38 【难点增分三】函数单调性与奇偶性的综合 45 【培优满分】 50 【培优满分一】嵌套函数的单调性与奇偶性 50 【培优满分二】抽象函数的单调性与奇偶性 55 【技巧总结】 63 【单元检测】 66 知识梳理 1.函数的单调性 条件 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I.如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时 都有f(x1)<f(x2) 都有f(x1)>f(x2) 结论 f(x)在区间D上单调递增 f(x)在区间D上单调递减 图示 当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，称它是增函数；当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，称它是减函数. 2．函数的最值 最大值 最小值 条件 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 ∀x∈I，都有f(x)≤M ∀x∈I，都有f(x)≥M ∃x0∈I，使得f(x0)＝M 结论 M是函数y＝f(x)的最大值 M是函数y＝f(x)的最小值 几何意义 f(x)图象上最高点的纵坐标 f(x)图象上最低点的纵坐标 3.奇函数、偶函数的定义及图象特征 (1)偶函数的定义及图象特征 ①偶函数的定义：设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数. ②偶函数的图象特征：偶函数的图象关于y轴对称.反之，图象关于y轴对称的函数一定是偶函数. (2)奇函数的定义及图象特征 ①奇函数的定义：设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数. ②奇函数的图象特征：奇函数的图象关于原点对称.反之，图象关于原点对称的函数一定是奇函数. 4.函数的奇偶性 如果函数f(x)是奇函数或偶函数，那么就说函数f(x)具有奇偶性. 温馨提醒　(1)奇函数与偶函数的定义域都关于原点对称；若一个函数的定义域不关于原点对称，则这个函数是非奇非偶函数. (2)若奇函数f(x)在x＝0处有定义，则f(0)＝0. 5.函数奇偶性与单调性的关系 (1)若f(x)为奇函数且在区间[a，b](a<b)上单调递增，则f(x)在[－b，－a]上单调递增，即在对称区间上单调性一致(相同). (2)若f(x)为偶函数且在区间[a，b](a<b)上单调递增，则f(x)在[－b，－a]上单调递减，即在对称区间上单调性相反. (3)若f(x)为奇函数且在区间[a，b](a<b)上有最大值为M，则f(x)在[－b，－a]上有最小值为－M. (4)若f(x)为偶函数且在区间[a，b](a<b)上有最大值为N，则f(x)在[－b，－a]上有最大值为N. 6.抽象函数的奇偶性 若f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，在它们公共定义域上，y＝f(x)·g(x)是奇函数，函数y＝f[g(x)]与y＝g[f(x)]都是偶函数. 7.常见函数模型 常见的几种函数模型 函数模型 解析式的一般形式 一次函数 y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0) 二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 分段函数 y＝ 幂函数型 y＝axn＋b(n≠1，a≠0) 重点保分 【重点保分一】函数单调性的判断与证明 【典例精讲】（多选）（2023上·安徽滁州·高一安徽省定远中学校联考期中）已知定义在上的函数满足，且，当时，，则（    ） A． B． C．在区间上单调递减，在区间上单调递增 D．不等式的解集是 【变式训练】 一、单选题 1．（2023上·湖南·高二校联考期中）已知定义域为的函数满足，当且时，成立.若存在使得成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2023上·吉林四平·高一统考期中）已知函数的定义域为R，对任意的，且，都有成立．若对任意恒成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（2023上·浙江宁波·高一校考期中）函数在是减函数，且，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 4．（2023上·辽宁沈阳·高一东北育才学校校考期中）定义在上的函数满足，且，则不等式的解集为 ． 四、解答题 5．（2023上·四川·高一校联考期中）已知函