5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式第2课时 课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

5.5.1　两角和与差的正弦、余弦和正切公式 第2课时　两角和与差的正弦、余弦、正切公式 复习引入 1.两角差的余弦公式是如何推导的? 根据三角函数的定义及圆的旋转对称性，借助两点间距离的坐标公式推导出. 2.两角差的余弦公式C (α-β)是如何表示的？ cos(–)=cos cos +sin sin 3.两角差的余弦公式C (α-β)的结构特征？ 左边两角差的余弦，右边是同名三角函数乘积的和，可用口诀“余余正正，符号相反”记忆公式． 4.思考：由公式C (α-β)出发，你能推导出两角和与差的三角函数的其他公式吗？ 学习新知 你能依据α＋β与α－β之间的联系，利用公式C(α－β) ，推导出两角和的余弦公式cos(α＋β)吗？ 探究1 注意到α＋β=α－(－β) cos(–)=cos cos +sin sin 则由公式C(α－β)，有 cos(α＋β)=cos[α－(－β)] =cosαcos(－β)+sinαsin(－β) =cosαcosβ-sinαsinβ 于是得到了两角和的余弦公式，简记作C(α+β)． cos(+)=cos cos – sin sin 请同学们指出该公式结构特点. 两角和与差的余弦公式 cos(–)=cos cos +sin sin cos(+)=cos cos – sin sin 使用条件：α，β都是任意角. 记忆口诀：“余余正正(哭哭丧丧），符号相反”. 理一理 也就是说，和角余弦等于同名积之差，差角余弦等于同名积之和. 　　你能根C(α+β) ，C(α－β) 及诱导公式五 ( 或六 )， 推导出用任意角α ，β 的正弦 、 余弦表示 sin (α＋β )， sin(α－β ) 的公式吗 ？ 探究2 　　前面得到了两角和与差的余弦公式．如何利用两角差的余弦公式和诱导公式得到两角和与差的正弦公式？ 　　我们知道，用诱导公式五(或六) 可以实现正弦、余弦的互化，这对我们今天的问题又有什么帮助？ 公式 五 公式 六 两角和的正弦公式 于是得到了两角和的正弦公式，简记作Ｓ(α+β)． 公式的结构特征 左边两角和的正弦，右边是异名三角函数乘积的和，可用口诀“正余余正，符号相同”记忆公式． 现在我们可以如何得到两角差的正弦公式？ 方法1：（同前） 方法2： 在公式S(α＋β)中用－β代替β，可以得到 sin(α－β)＝sin αcos(－β)＋cos αsin(－β) ＝sin αcos β－cos αsin β. 简记作Ｓ(α-β)． 两角和与差的正弦公式 理一理 使用条件：α，β都是任意角. 记忆口诀：“正余余正(丧哭哭丧），符号相同”. 也就是说，和角正弦等于异名积之和，差角正弦等于异名积之差. 利用和（差）公式求75°，15°的正弦、余弦的值. 解： sin75°=sin(45°+30°) =sin45°cos30°+cos45°sin30° cos75°=cos(45°+30°) =cos45°cos30°–sin45°sin30° sin15°=? cos15°=? 练一练 9 探究3 你能根据正切函数与正弦函数、余弦函数的关系，从S(α±β) ， C(α±β) 出发，推导出用任意角α，β的正切表示tan(α＋β)， tan(α－β)的公式吗？ (这里有什么要求?) (这里又有什么要求?) 分子、分母分别 除以cos α·cos β 得到两角差的正切公式 (T(-)) 于是，得到两角和的正切公式 (T(+)) 那两角差的正切呢? 在T(α＋β)中以－β代替β，可得 11 注意： 1.必须在定义域范围内使用上述公式． 2.注意公式的结构，尤其是符号． 即：tan，tan，tan(±)只要有一个不存在就不能使用这个公式，只能（也只需）用诱导公式来解。如:已知tan  =2,求 不能用位　　　． 两角和与差的正切公式 理一理 符号上同 ， 下不同 两角和与差的正切公式 说明： ( C(-) ) ( C(+) ) cos(-)= cos cos +sin sin  cos(+)= cos cos -sin sin  ( S(+) ) ( S(-) ) sin(+)= sin cos +cos sin  sin(-)= sin cos -cos sin  ( T(+) ) ( T(-) ) 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 整一整 成竹在胸 余余正正