1.1.2 等边三角形的性质课件2023-2024学年北师大版八年级数学下册

第1章 三角形的证明 1.1 等腰三角形 第2课时 等边三角形的性质 教学目标 1.了解等腰三角形中线、高线、角平分线的性质 2.掌握等边三角形的性质 重点难点 1.等边三角形的性质 2.用等腰、等边三角形的性质解决实际问题 提出问题,导入新课 上节课我们学习了等腰三角形,你能说出等腰三角形的性质吗? 等腰三角形的性质: (1)等腰三角形的两底角相等(等边对等角). (2)等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合(三线合一). 提出问题,导入新课 试猜想等腰三角形的两底角的平分线、两腰上的高、两腰上的中线有什么关系呢? 证明猜想,探求新知 如图,在 ABC 中,AB = AC,BD 和 CE 是角平分线. 例1 证明:等腰三角形两底角的平分线相等. 已知: 求证: BD = CE. A C B E 1 2 D ∵ AB = AC (已知), ∴∠ABC =∠ACB (等边对等角). 证明: ∠2 = ∠ACB (已知), 又∵∠1 = ∠ABC, ∴∠1 =∠2 (等式性质). 在 BDC 与 CEB 中, ∠DCB =∠ EBC (已知), BC = CB (公共边), ∠1 =∠2 (已证), ∴ BDC≌ CEB (ASA). ∴ BD = CE (全等三角形的对应边相等). A C B E 1 2 D 证明猜想,探求新知 例2 证明:等腰三角形两腰上的中线相等. 已知:如图,在 ABC 中, AB= AC,BD和CE是 ABC 的两腰上的中线. 求证:BD=CE. A B C D E 证明猜想,探求新知 证明猜想,探求新知 A B C D E 证明: ∵ AB=AC, ∴ ∠ABC= ∠ACB(等边对等角). ∵ BD和CE是 ABC两腰上的中线, ∴CD= AC,BE= AB,∴CD= BE. 在 BDC 和 CEB 中, ∠ACB= ∠ABC, BC=CB,CD= BE , ∴ BDC≌ CEB(SAS). ∴ BD=CE(全等三角形的对应边相等). 证明猜想,探求新知 例3 证明: 等腰三角形两腰上的高相等. BP = CQ. 求证: 已知:如图,在 ABC 中,AB = AC,BP,CQ 是 ABC 两腰上的高. 证明: ∵ AB = AC (已知),∴∠QBC =∠PCB. 在 BQC 与 CPB 中, ∵∠BQC =∠CPB,∠QBC =∠PCB,BC = CB, ∴ BQC≌ CPB (AAS). ∴ BP = CQ. A C B P Q 变式训练,开拓思路 如果把等腰三角形两底角的平分线(二等分线)换成三等分线、四等分线,你能得到一个什么结论?如图. A B C D E AB=AC,∠CBD = ∠ABC,∠ ECB = ∠ACB,则BD与CE有何数量关系? BD=CE 如何证明呢? 变式训练,开拓思路 2. 已知:如图,在 ABC 中,AB = AC. (1) 如果 AD = AC,AE = AB, 那么 BD = CE 吗? 为什么? A C B D E BD = CE (2) 如果 AD = AC,AE = AB, 那么 BD = CE 吗? 为什么? BD = CE 如何证明 归纳新知 分别将等腰三角形底边两端点与腰上某一点相连,如果两条连线与底边所夹的角相等,那么这两条连线段相等. 两腰上和顶点等距的两点到对角顶点的距离相等. 思维迁移 等边三角形的三个内角都相等,并且每个角都等于60 . 想一想:等边三角形是特殊的等腰三角形,那么等边三角形的内角有什么特征呢? A B C 思维迁移 已知:如图,在 ABC 中,AB = AC = BC. 求证:∠A =∠B =∠C = 60 . 证明:在 ABC 中, ∵ AB = AC (已知), ∴∠B =∠C (等边对等角). 同理∠A =∠B. 又∵∠A +∠B +∠C = 180 (三角形的内角和等于180 ), ∴∠A =∠B =∠C = 60 . 思维迁移 总结归纳 定理: 等边三角形的三个内角都相等,并且每个角都等于 60 . 练习巩固,提高能力 A C B D E 1.如图, ABC 和 ADE 都是等边三角形,若 ABC 的周长为 18 cm,EC = 2 cm,则 ADE 的周长是 cm. 练习巩固,提高能力 证明:∵ ACM 和 BCN 都为等边三角形, ∴∠1=∠3=60 . ∴∠1+∠2=∠3+∠2, 即∠ACN=∠MCB. ∵ CA=CM,CB=CN, ∴ CAN≌ CMB (SAS). ∴ AN=BM. 2. 如图所示, ACM 和 BCN 都为等边三角形,连接 AN、BM,求证:AN = BM. 练习巩固,提高能力 3.如图,在 ABC中,D,E是BC的三等分点,且 ADE是等边三角形,求∠BAC的度数.