1.5三角函数的应用 教案 2023-2024学年 北师大版数学九年级下册

5 三角函数的应用 第1课时 方位角问题 教学目标: 1.理解方位角的概念,并学会画方位图. 2.将方位角问题转化成数学问题,并能运用三角函数有关知识求解. 3.通过方位角问题的解决让学生体会船只在海上航行的实际情景,从而培养空间想象力. 教学重难点: 重点:学会画方位图,将与方位角有关问题转化成数学问题. 难点:将与方位角问题转化成数学问题,并能用三角函数解决. 教学过程: 导入 1.回顾直角三角形边与角之间的关系. 2.画出下列方位角: (1)北偏东70 ;(2)南偏东60 ;(3)西南方向;(4)西北方向. 讲授新课 知识点 运用三角函数解决方位角问题 一渔船以20 n mile/h的速度跟踪鱼群由西向东航行,在A处测得灯塔C在北偏东60 方向上,继续航行1 h到达B点,这时测得灯塔C在北偏东30 方向上,已知灯塔C的周围10 n mile范围内有暗礁,如果渔船不改变航线继续向东航行,有没有触礁的危险? [点拨](1)过点C作CD⊥AB,垂足为D.有没有触礁的危险取决于船在航行过程中与点C的最短距离,即垂线段CD的长度,若CD>10,则没有危险;若CD≤10,则有危险.所以本题转化为求CD的长度问题; (2)本题中含有两个直角三角形,可以先根据角度分析数量关系,然后选择合适的直角三角形运用三角函数求解. 解:如图所示,过点C作CD⊥AB,垂足为D. 根据题意可知,∠BAC=30 ,∠CBD=60 , AB=20 1=20(n mile). 所以∠ACB=∠BAC=30 . 所以BC=AB=20 n mile. 在Rt CBD中,因为sin 60 ==, 所以CD=20 =10(n mile)>10 n mile. 所以如果渔船不改变航线继续向东航行,没有触礁的危险. 范例应用 例题 如图所示,某拖船由西向东航行,到达A处时,测得小岛B位于它的北偏东30 方向,且与拖船相距80 n mile.继续航行一段时间后到达C处,测得小岛B位于它的西北方向.求此时拖船与小岛的距离BC的长(结果保留根号). 解:如图所示,过点B作BD⊥AC于点D, 由题意,得∠BAD=90 -30 =60 , ∠BCD=90 -45 =45 ,AB=80 n mile. 在Rt ADB中,∠BAD=60 , 因为sin∠BAD==, 所以BD=AB=40 n mile. 在Rt BCD中,∠BCD=45 , 所以BC=BD=40 n mile. 答:此时拖船与小岛的距离BC的长为40 n mile. [方法归纳](1)在这种方位角问题上,没有图形的首先通过方位角的定位画出平面示意图,通过添加合适的辅助线构造直角三角形,把实际问题转化成解直角三角形问题; (2)最常见图形有两类: 课堂训练 1.如图所示,琪琪一家驾车从A地出发,沿着北偏东60 的方向行驶,到达B地后沿着南偏东50 的方向行驶来到C地,且C地恰好位于A地正东方向上,则下列说法正确的是(B) A.B地在C地的北偏西40 方向上 B.A地在B地的南偏西60 方向上 C.∠ACB=50 D.sin∠BAC= 2.某轮船由西向东航行,在A处测得小岛P的方位是北偏东75 ,继续航行7 n mile后,在B处测得小岛P的方位是北偏东60 ,则此时轮船与小岛P的距离BP是(C) A.3.5 n mile B.4 n mile C.7 n mile D.14 n mile 3.如图所示,已知渔政执法船某一时刻在长江流域巡航时,从A出发以30 km/h的速度向正南方向行驶,在A处观测到码头C位于船的南偏东37 ,2 h后到达B处,这时观察到码头C位于船的北偏东45 方向,若此时渔政执法船返回码头C,需要多少时间?结果精确到0.1 h,≈1.41,sin 37 ≈,cos 37 ≈,tan 37 ≈ 解:如图所示,过C作CD⊥AB于D, 由题意,得AB=30 2=60 (km/h),∠A=37 ,∠B=45 . 设CD=x km,在Rt BCD中, 因为∠B=45 ,∠BDC=90 , 所以BD=CD=x km. 在Rt ACD中,因为∠A=37 ,∠ADC=90 , 所以AD=≈=. 又因为AD+BD=AB, 即x+x=60,解得x=. 所以BC=BD= ≈36.26(km). 因为36.26 30≈1.2(h). 所以若此时渔政执法船返回码头C,需要1.2 h. 小结 1.方位角的概念. 2.方位角的基本模型及处理方法. 板书 5 三角函数的应用 第1课时 方位角问题 1.方位角的概念. 2.例题. 反思 本节课的教学内容是解直角三角形的应用问题,对一部分学生来说,他们从作辅助线构建直角三角形,到利用方程解答题目,直至描述答案都显得轻松自如;但对另外一部分学生来说,他们基础较差,对数学的应用不是那么得