2.4二次函数的应用第1课时　利用二次函数解决图形面积问题（教案）2023-2024学年北师大数学九年级下册

4 二次函数的应用 第1课时　利用二次函数解决图形面积问题 教学目标： 1.能够分析和表示最大面积问题中变量之间的关系,并能运用二次函数求出最大值,增强解决问题的能力. 2.经历最大面积问题的探索过程,体会二次函数是一类优化问题的数学模型,感受数学的应用价值. 教学重难点： 重点:利用二次函数解决图形问题. 难点:能根据问题灵活设二次函数,选用合适的方法确定二次函数表达式. 教学过程： 导入 求下列二次函数的顶点坐标,并说明y随x的变化情况: (1)y=x2-4x-1(配方法); (2)y=-x2+3x(公式法). 解:(1)y=x2-4x-1=(x-2)2-5, 所以顶点坐标为(2,-5). 当x<2时,y随x的增大而减小, 当x>2时,y随x的增大而增大. (2)由题可知a=-,b=3,c=0, 所以-=- =3, = = . 所以顶点坐标为3,. 当x<3时,y随x的增大而增大, 当x>3时,y随x的增大而减小. 讲授新课 问题　利用二次函数解决图形面积问题 请用长20 m的篱笆围建一个矩形的菜园.怎样设计才能使矩形菜园的面积最大? [点拨] 矩形面积=长×宽,所以先表示出矩形面积,然后结合函数关系式进行分析. 解:设矩形的面积为y m2,一边为x m,则另一边为(10-x)m,根据题意得: y=x(10-x)=-x2+10x, 所以当x=- =5时,矩形面积最大为5×(10-5)=25(m2). [方法归纳] 解决“最大面积”问题的基本思路: 第一步:审题理解问题; 第二步:分析问题中的变量和常量,设自变量; 第三步:分析问题中的变量和常量之间的关系,建立函数的表达式; 第四步:确定自变量的取值范围; 第五步:根据顶点坐标公式或配方法求出最大值或最小值(在自变量的取值范围内). 范例应用 例1　如图所示,在一个直角三角形的内部画一个矩形ABCD,其中AB和AD分别在两直角边上,AN=40 cm,AM=30 cm. (1)设矩形的一边AB=x cm,那么AD边的长度如何表示? (2)设矩形的面积为y cm2,当x取何值时,y的最大值是多少? 解:(1)因为四边形ABCD是矩形, 所以BC∥AM,BC=AD. 所以BN∶AN=BC∶AM. 因为AN=40 cm,AB=x cm,AM=30 cm. 所以BN=(40-x) cm. 所以 =. 所以AD=BC= . (2)y=×x=-x2+30x=-(x-20)2+300, 所以当x=20时,y最大=300. [变式] 在上一个问题中,如果把矩形改为如图所示的位置,其顶点A和点D分别在两直角边上,BC在斜边上.PM=30 cm,PN=40 cm那么矩形的最大面积是多少? 解:过点P作PH⊥MN,垂足为H,交AD于点E, 此时PM=30 cm,PN=40 cm. 所以由勾股定理可得MN=50 cm. 所以PH·MN=PM·PN,即PH×50=40×30. PH=24 cm. 因为四边形ABCD是矩形, 所以AD∥MN,PE⊥AD, 所以AD∶MN=PE∶PH. 设AB=EH=x cm, 则PE=(24-x) cm, 所以 =. 所以AD=50-x. 所以y=x(50-x)=-x2+50x. 当x=- =12时,y最大=300. 即矩形的最大面积是300 cm2. 例2　某建筑物的窗口如图所示,它的上半部分是半圆,下半部分是矩形,制造窗框的材料总长(图中所有黑线的长度和)为15 m,当半圆的半径x为多少时,窗户通过的光线最多?(结果精确到0.01 m)此时,窗户的面积是多少?(结果精确到0.01 m2) 解:设窗户的面积为S m2. 因为材料的总长为15 m, 所以4y+7x+πx=15. 所以y= (15-7x-πx). 所以S=2x·(15-7x-πx)+πx2 =-3.5x2+7.5x. 因为-3.5<0, 所以S有最大值. 当x=- =≈1.07时, S最大=≈4.02. 答:当半圆的半径x约为1.07 m时,窗户通过的光线最多,此时窗户的面积约为4.02 m2. [方法归纳] 根据顶点坐标公式或配方法求最大值或最小值时,一定要注意此时自变量的取值是否符合要求或实际情况. 课堂训练 1.如图所示,已知△ABC是一等腰三角形铁板余料,AB=AC=20 cm,BC=24 cm.若在△ABC上截出一矩形零件DEFG,使得EF在BC上,点D,G分别在边AB,AC上.问矩形DEFG的最大面积是多少? 解:如图所示,过点A作 AH⊥BC于点H,交DG于点P, 因为△ABC是等腰三角形, 所以BH=CH=BC(三线合一). 则AH==16(cm), 设EF=x cm,S矩形=y cm2, 因为四边形DGFE是矩形,所以DG∥BC. 所以△ADG∽△ABC. 故