1.5三角函数的应用课件 2022-2023学年北师大版九年级数学下册

第一章 直角三角形的边角关系 1.5 三角函数的应用 教学目标: 1.探索船是否触礁,进一步体会三角函数在解决实际问题过程中 的应用; 2.结合实际问题,了解方位角的概念,通过解直角三角形,培养 解决实际问题的能力; 3.通过将实际问题转化成数学问题的过程,感受数学与生活的联 系,增强学生的数学应用意识。 教学重点:体会三角函数在解决实际问题中的作用,发展学生数学 应用意识和解决问题的能力。 教学难点:根据题意理解相关术语,准确画出示意图,将实际问题 转化为数学问题 类型一 方位角问题 方位角的定义: 指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90 的角叫做方位角. 30 45 B O A 东 西 北 南 北偏东30 南偏西45 东 西 北 O (1)正东,正南,正西,正北 (2)西北方向:_ 西南方向:_ 东南方向:_ 东北方向:_ 射线OA A B C D OB OC 45 射线OE 射线OF 射线OG 射线OH E G F H 45 45 45 OD 南 方位角问题老师要提醒学生方位角的方向性,即有南北到东西,而且还要注意以谁为参照 全品文教 (全) - 方位角熟悉要以某一位置为参考点,建立方位坐标;其次要注意方向的描述顺序是先南北,后东西的方向;最后就是注意东北、东南、西北、西南的方位角都是45度 例1 如图,海中有一小岛A,该岛四周10 海里内有暗礁.今有货轮由西向东航行,开始在A岛南偏西55 的B处,往东行驶20 海里后到达该岛的南偏西25 的C处.之后,货轮继续往东航行. 你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗?你是怎样想的?与同伴进行交流. 问题1:货轮要向正东方向继续行驶,有没有触礁的危险,由谁来决定? 分析:是否有触礁的危险是由船与小岛的最短距离与危险区域的半径值比较决定,即 货轮继续向东航行到A的最短距离如果大于10海里,则无触礁的危险; 如果小于或者等于10 海里,则有触礁的危险 问题2:如何求AD的长? 解:过A作BC的垂线,交BC的延长线于点D, 得到Rt ABD和Rt ACD,从而BD=ADtan 55 , CD=ADtan 25 ,由BD-CD=BC,BC=20 海里,得 ADtan 55 - ADtan 25 =20, AD(tan 55 -tan 25 )=20, 因为20.79 海里>10 海里,所以货轮没有触礁的危险. 类型二 俯角、仰角问题 在进行测量时, 从下向上看,视线与水平线的夹角叫做仰角; 从上往下看,视线与水平线的夹角叫做俯角. 铅直线 水平线 视线 视线 仰角 俯角 例题讲解 例2 如图,小明想测量塔CD的高度.他在A处仰望塔顶,测得仰角为30 ,再往塔的方向前进50 m至B处.测得仰角为60 ,那么该塔有多高?(小明的身高忽略不计,结果精确到1 m) 解:在Rt ADC中, ,即 在Rt BDC中, , 即 ∵AB=AC-BC=50, ∴ 解得CD≈43(m),即塔CD的高度约为43 m. 问题引申: 如果考虑小明的身高呢? 如果设小明测量时,眼睛离地面的距离为1.6 m,其他数据不变,此时塔的高度为多少?你能画出示意图吗? B D A C B′ A′ C′ 30 60 解:由前面的解答过程可知CC′≈43 m, 则CD≈43+1.6=44.6(m). 即考虑小明的身高,塔的高度约为44.6 m. 类型三 坡度、坡角问题 坡度的定义: 通常把坡面的垂直距离高度h和水平距离l的比叫做坡度。(BC与AC的比) 坡面与水平面的夹角(∠A) 坡角的定义: 注意:坡角表示一个角,坡度表示这个角的正切值 A B C 例3 例某商场准备改善原有楼梯的安全性能,把倾角由原来的40 减至35 ,已知原楼梯的长度为4m,调整后的楼梯会加长多少?楼梯多占多长一段地面?(结果精确到0.01m). A D C B 解: 如图∠ACD=40 ,∠ABD=35 , AC=4m. ∴AD=4sin40 ∴AB= ≈4.48(m) ∴AB-AC=0.48(m) 即调整后的楼梯会加长0.48m. Rt ACD中, Rt ABD中, 随堂演练 1. 如图,为测量一棵与地面垂直的树OA的高度,在距离树 的底端30米的B处,测得树顶A的仰角∠ABO为 ,则树OA 的高度为( ) A. B.30sin 米 C.30tan 米 D.30cos 米 随堂演练 2. 如图,一艘海轮位于灯塔P的北偏东55 方向,距离灯 塔2海里的A处.如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正 东位置,则海轮航行的距离AB是( ) A.2海里 B.2sin 55 海里 C.2cos 55 海里 D.2tan 55 海里 3.如图,从地面上的C,D两点测得树顶A仰角分别是45 和30 ,已知CD=200米,点C在BD上,则树高AB等于 (根号保留)