2.3确定二次函数的表达式第1课时　已知图象上两点求表达式（教案）2023—2024学年北师大版数学九年级下册

3　确定二次函数的表达式 第1课时　已知图象上两点求表达式 教学目标： 1.学会用待定系数法确定二次函数的表达式,并且能根据抛物线上的两个点的坐标来求二次函数的表达式. 2.能根据具体条件设不同的表达式,提高学生的分析总结能力. 3.通过确定二次函数的表达式的探究活动,培养学生的创新精神,勇于探索的学习习惯,提高学生的学习兴趣. 教学重难点： 重点:已知图象上两点求二次函数的表达式. 难点:能根据问题灵活选用二次函数的表达式的不同形式. 教学过程： 导入 1.二次函数的定义是什么? 一般地,形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的函数叫做x的二次函数. 2.用　描点法　画出二次函数的图象,可以从图象上认识二次函数的性质,确定二次函数的　顶点　、开口方向和　对称轴　.  讲授新课 知识点1　用一般式求二次函数表达式 已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过A(-1,12),B(0,5). (1)求抛物线表达式; (2)试判断该二次函数的图象是否经过点(2,3). [点拨] 将抛物线上的两点代入表达式,得到一元二次方程组,然后求解. 解:(1)因为二次函数y=x2+bx+c的图象经过A(-1,12),B(0,5). 代入,得解得 所以二次函数表达式为y=x2-6x+5. (2)当x=2时,y=x2-6x+5=4-12+5=-3≠3, 所以该二次函数的图象不经过点(2,3). 知识点2　用顶点式求二次函数表达式 已知二次函数的图象经过点(0,3),且顶点坐标为(-1,4).求这个函数表达式. [点拨] 已知抛物线顶点,设顶点式,则h和k的值确定,将另外一点代入解析式可求得a. 解:(1)设抛物线表达式为y=a(x+1)2+4, 将(0,3)代入,得a+4=3,解得a=-1, 则抛物线的表达式为 y=-(x+1)2+4=-x2-2x+3. [方法归纳] 二次函数y=ax2+bx+c可以化为y=a(x-h)2+k,顶点为(h,k),如果知道顶点坐标,那么再知道图象上另一点的坐标,就可以确定这个二次函数的表达式. 范例应用 例1　若抛物线y=ax2+bx+2经过点(-2,6),(2,2). (1)求这条抛物线的函数表达式; (2)求y随x的增大而减小时x的取值范围. 解:(1)将点(-2,6),(2,2)代入y=ax2+bx+2中,得解得 所以y=x2-x+2. (2)因为抛物线y=x2-x+2的对称轴为直线x=-=1, 又因为a=>0,抛物线开口向上, 所以y随x的增大而减小时x<1. [方法归纳] 设一般式的条件:二次函数只有两个系数未知,并且知道抛物线上的任意两点. 例2　已知二次函数的图象如图所示,求出该函数的表达式. 解:由题图可知,函数的顶点坐标为(1,4), 设表达式为y=a(x-1)2+4,过点(3,0), 则a(3-1)2+4=0,解得a=-1. 所以该函数的表达式为y=-(x-1)2+4=-x2+2x+3. [方法归纳] 设顶点式的条件 (1)已知抛物线顶点; (2)能够判断出顶点; (3)已知抛物线对称轴. 课堂训练 1.已知抛物线与二次函数y=2x2的图象的开口大小相同,开口方向相反,且顶点坐标为(-1,2 022),则该抛物线对应的函数表达式为(D) A.y=-2(x-1)2+2 022 B.y=2(x-1)2+2 022 C.y=2(x+1)2+2 022 D.y=-2(x+1)2+2 022 2.若抛物线y=ax2-1(a≠0)经过点(a,7),则a的值是(C) A.-2 B.1 C.2 D.3 3.请你写出一个抛物线使它满足以下条件:(1)开口向下,(2)顶点坐标为(1,3),则这个抛物线的表达式是　y=-x2+2x+2或y=-2(x-1)2+3(答案不唯一)　.  4.二次函数y=x2+kx+c的图象经过(1,0)与 (2,5) 两点. (1)求这个函数的表达式; (2)求抛物线的顶点坐标和对称轴. 解:(1)将(1,0)与(2,5)代入y=x2+kx+c得 解得 所以y=x2+2x-3. (2)因为y=x2+2x-3=(x+1)2-4, 所以抛物线顶点坐标为(-1,-4). 对称轴为直线x=-1. 5.已知二次函数y=ax2+bx+c的顶点坐标为A(-1,4),且过点B(2,-5). (1)求a-b+c的值; (2)求二次函数的表达式. 解:(1)因为二次函数y=ax2+bx+c的顶点坐标为A(-1,4), 所以a-b+c=4. (2)设二次函数的表达式为y=a(x+1)2+4, 代入(2,-5)可得-5=a(2+1)2+4, 解得a=-1, 所以二次函数的表达式为 y=-(x+1)2+4=-x2-2x+3. 小结 用待