1.4解直角三角形（教案）2023—2024学年北师大版数学九年级下册

4　解直角三角形 教学目标： 1.了解解直角三角形的概念. 2.能运用直角三角形的角与角(两锐角互余)、边与边(勾股定理)、边与角关系解直角三角形. 3.使学生了解体会用化归的思想方法将未知问题转化为已知问题去解决.培养学生的“数学建模”的思想. 教学重难点： 重点:根据条件解直角三角形. 难点:三角函数在解直角三角形中的灵活运用. 教学过程： 导入 在图形的研究中,直角三角形是常见的三角形之一,因此经常会遇到求直角三角形的边长或角度等问题.为了解决这些问题,往往需要确定直角三角形的边或角. 如图所示,在直角三角形ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C的对边分别记作a,b,c. (1)直角三角形的三边之间有什么关系? (2)直角三角形的锐角之间有什么关系? (3)直角三角形的边和锐角之间有什么关系? 解:(1)a2+b2=c2. (2)∠A+∠B=90°. (3)sin A=,cos A=,sin B=,cos B=,tan A=,tan B=. 直角三角形中有6个元素,分别是三条边和三个角.那么至少知道几个元素,就可以求出其他的元素呢?这就是我们本节课要研究的问题. 讲授新课 知识点1　解直角三角形的概念 在Rt△ABC中,∠C=90°,根据∠A=60°,斜边AB=30,你能求出这个三角形的其他元素吗? [点拨]先判断缺少的元素,然后根据已知条件求解. 解:∠B=90°-60°=30°, AC= AB=15, BC==15. [总结]由直角三角形中已知的元素,求出所有未知元素的过程,叫做解直角三角形. 知识点2　解直角三角形的条件及方法 在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=60°,你能求出这个三角形的其他元素吗? [点拨]没有边的条件,不能求出直角三角形的边长. 解:可以求出角的度数,∠B=180°-∠A-∠C=30°.不能求出边的长度. [总结]解直角三角形至少需要除直角以外的两个条件,并且至少有一条边,可以是一个锐角一条边,也可以是两条边. 范例应用 例1　在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,且a=,b=,求这个三角形的其他元素. 解:在Rt△ABC中,a2+b2=c2,a=,b=, 所以c===2. 在Rt△ABC中,sin B= = = , 所以∠B=30°. 所以∠A=60°. [方法归纳]若已知两条边,根据勾股定理求出第三边,然后利用三角函数求出一个锐角,根据直角三角形两锐角互余求出另一个锐角. 例2　在Rt△ABC中,∠C为直角,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,且b=30,∠B=25°,求这个三角形的其他元素(边长精确到1). 解:在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=25°, 所以∠A=65°. 因为sin B=,b=30, 所以c= =≈71. 因为tan B= ,b=30, 所以a= =≈64. [方法归纳]若已知一个锐角和一条边,可以根据直角三角形两个锐角互余求出另一个锐角,然后用三角函数或勾股定理求出另两边. 课堂训练 1.在Rt△ABC中,∠C=90°,cos A=,AB=10,则BC的长为(D) A.3 B.4 C.6 D.8 2.等腰三角形底边与底边上的高的比是2∶,则它的顶角为(C) A.30° B.45° C.60° D.120° 3.如图所示,在△ABC中,AB=5,BC=13,AD是BC边上的高,AD=4,则tan C=　　.  4.在△ABC中,∠A=45°,AB=4,BC=5,则△ABC的面积为　2或14　.  5.如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=2,AC=2.解这个直角三角形. 解:在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=2,AC=2, 所以AB===4. 因为tan A= = = , 所以∠A=30°. 所以∠B=90°-∠A=90°-30°=60°. 6.如图所示,在△ABC中,BC=12,tan A=,∠B=30°,求AC的长和△ABC的面积. 解:过点C作CD⊥AB于D,如图所示, 在Rt△CDB中,∠B=30°, 所以CD=BC=6, BD=BC·cos B=12×=6. 在Rt△ACD中,tan A= , 所以 = , 即 = . 所以AD=8. 在Rt△ADC中,由勾股定理,得 AC===10. 所以△ABC的面积为AB·CD =×(8+6)×6 =24+18. 小结 1.解直角三角形的概念. 2.解直角三角形的条件及方法. 板书 4　解直角三角形 1.解直角三角形的概念:由直角三角形中已知的元素,求出所有未知元素的过程,叫做解直角三角形. 2.解直角三角形的条件:除直角外还需已知两个条件,至少有一个条件是边. 反思 　　通过利用多媒体教学技术的优势,提供给学生直观形象,既提高了学生的解题