第5章二次函数基础讲义2023-2024学年苏科版九年级下册数学

二次函数 知识解析一 1．二次函数的定义 （1）二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项． 2.二次函数的图像和性质 一般式 对称轴 直线x = 直线x = 顶点 （，） （，） 最值 当x = ， y 有最小值 当x = ， y 有最大值 增减性 当x ＜ 时，y 随x 的增大而减小， 当x ＞时，y 随x 的增大而增大． 当 x ＜ 时，y 随x 的增大而增大， 当x ＞ 时，y 随x 的增大而减小． 顶点式 对称轴 直线x = h 直线x = h 顶点 (h ，k) (h ，k) 最值 当x = h， y 有最小值k 当x = h， y 有最大值k 增减性 当x ＜h 时，y 随x 的增大而减小， 当x ＞h 时，y 随x 的增大而增大． 当x ＜h 时，y 随x 的增大而增大， 当x ＞h 时，y 随x 的增大而减小． 3．二次函数图象与系数的关系 ①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小． 当a＞0时，抛物线向上开口； 当a＜0时，抛物线向下开口； |a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小． ②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置． 当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．（简称：左同右异） ③常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）． ④抛物线与x轴交点个数． △＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点； △＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点； △＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． ⑤常见代数式的符号判断 【二次函数图像和性质】 【典例归纳】 1．下列函数是二次函数的是（　　） A．y＝2x+1 B．y＝+x+2 C．y＝x2+2 D．y＝ 2．对于二次函数y＝x2﹣6x+10，下列说法不正确的是（　　） A．其图象的对称轴为过（3，1）且平行于y轴的直线 B．其最小值为1 C．其图象与x轴没有交点 D．当x＜3时，y随x的增大而增大 3．如图，抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于（﹣1，0）、（3，0）两点，则下列判断中，错误的是（　　） A．图象的对称轴是直线x＝1 B．当x＞1时，y随x的增大而减小 C．一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根是﹣1和3 D．当﹣1＜x＜3时，y＜0 4．已知关于的方程的一个根是2，且二次函数的对称轴是直线，则这条抛物线的顶点坐标为　　 A． B． C． D． 5．某数学兴趣小组在研究二次函数y＝x2+ax+b的图象时，得出如下四个命题： 甲：图象与x轴的一个交点为（3，0）； 乙：图象与x轴的一个交点为（1，0）； 丙：图象的对称轴为过点（1，0），且平行于y轴的直线； 丁：图象与x轴的交点在原点两侧． 若这四个命题中只有一个假命题，则该命题是（　　） A． 甲 B．乙 C．丙 D．丁 6．若二次函数y＝﹣2x2+8x+c的图象上有A（﹣1，y1）、B（4，y2）、C（2﹣，y3）三点，则y1、y2、y3的大小关系正确的是（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y3＞y2＞y1 C．y2＞y1＞y3 D．y1＞y3＞y2 7．已知点A（m，y1）、B（m+3，y2）、C（x0，y0）在二次函数y＝ax2+6ax+c（a≠0）的图象上，且C为抛物线的顶点．若y0≤y1＜y2，则m的取值范围是（　　） A．m＞﹣4.5 B．m＞﹣3 C．m＜﹣4.5 D．m＜﹣3 【变式训练】 1．下列函数中一定是二次函数的是　　 A． B． C． D． 2．函数是二次函数，则　 　． 3．二次函数的图象开口向 　　，顶点坐标为 　　． 4．对于二次函数的图象，下列说法正确的是　　 A．图象与轴交点的坐标是 B．对称轴是直线 C．顶点坐标为 D．当时，随的增大而增大 5．若二次函数的图象的对称轴是轴，则的值是　　 A．0 B．1 C． D．2 6．若二次函数的图象过，，，则，，的大小关系是　　 A． B． C． D． 7．已知点，，均在抛物线上，其中．若，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 【二次函数——取值范围】 【典例归纳】 1．二次函数，当时，的取值范围为　　 A． B． C． D． 2．若抛物线的顶点在第二象限，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 3．已知二次函数，当时，随的增大而减小，则实数的取值范围是　 　． 4．在平面直角