2.2二次函数的图象与性质第5课时　二次函数y=ax²+bx+c的图象与性质 教案 2023-2024学年 北师大版数学九年级下册

2　二次函数的图象与性质 第5课时　二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质 教学目标： 1.掌握二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质,会利用图象研究和理解二次函数y=ax2+bx+c的性质,用配方法化成y=a(x-h)2+k的形式. 2.能利用二次函数y=ax2+bx+c的性质解决简单的实际问题. 3.通过二次函数y=ax2+bx+c的探究活动,初步建立学生的二次函数不同表达式之间的转换思维,培养学生的团队合作精神,勇于探索的学习习惯,提高学生的学习兴趣. 教学重难点： 重点:二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质. 难点:用配方法推导y=ax2+bx+c的对称轴与顶点坐标公式. 教学过程： 导入 1.填写下表: 函数 表达式 开口 方向 增减性 对称轴 顶点 坐标 y=ax2 a>　0, 开口向上; a<　0, 开口向下 a>0时,在对称轴左侧,y随x的增大而减小,在对称轴　右侧　,y随x的增大而增大;a　<　0时,在对称轴左侧,y随x的增大而　增大　,在对称轴的右侧,y随x的增大而　减小　  y轴(直线x=　0　)  (0,0) y=ax2+c y轴(直线x=0) 　(0,c)　  y=a(x-h)2 直线x=h 　(h,0)　  y=a(x-h)2+k 直线x=h (h,k) 2.若x2+8x+n是完全平方式,则n的值为　16　.  新课讲授 知识点1　二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质 用描点法画出二次函数y=2x2-8x+5的图象,并写出其顶点坐标和对称轴. [点拨]先将抛物线表达式化为顶点式,然后判断它的顶点坐标,再列表、描点、连线. 解:y=2x2-8x+5=2(x-2)2-3,抛物线的开口向上,对称轴为直线x=2,顶点坐标为(2,-3). 列表: x … 0 1 2 3 4 … y … 5 -1 -3 -1 5 … 图象为 [总结](1)一般地,对于二次函数y=ax2+bx+c,我们可以利用配方法将一般式化为顶点式:y=ax2+bx+c=a(x+)2+. (2)二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质 抛物线 y=ax2+bx+c 顶点坐标 -, 开口方向 a>0时,开口向上,a<0时,开口向下 对称轴 直线x=- 增减性 a>0时,在对称轴左侧,y随x的增大而减小,在对称轴右侧,y随x的增大而增大;a<0时,在对称轴左侧,y随x的增大而增大,在对称轴右侧,y随x的增大而减小 最值 a>0时,y有最小值,a<0时,y有最大值 知识点2　二次函数的简单实际应用 从地面竖直向上抛出一小球,小球的高度h(单位:m)与小球的运动时间t(单位:s)之间的关系式是 h=-5t2+30t(0≤t≤6).小球运动的时间是多少时,小球最高?小球运动中的最大高度是多少? [点拨]小球运动中的最大高度是抛物线顶点纵坐标. 解:h=-5t2+30t=-5(t2-6t+9)+45=-5(t-3)2+45, 因为a=-5<0,所以图象的开口向下,有最大值. 当t=3时,h最大=45. 所以小球运动的时间是3 s时,小球最高,小球运动中的最大高度是45 m. 范例应用 例1　已知二次函数y=x2-2x-3的图象为抛物线C. (1)写出抛物线C的开口方向、对称轴和顶点坐标; (2)将抛物线C先向右平移2个单位长度得到抛物线C1;再将抛物线C1向下平移1个单位长度得到抛物线C2.请直接写出抛物线C1,C2对应的函数表达式. 解:(1)因为y=x2-2x-3=(x-1)2-4, 所以抛物线C的开口向上,对称轴为直线x=1,顶点坐标为(1,-4). (2)因为抛物线C:y=(x-1)2-4向右平移2个单位长度得到抛物线C1, 所以C1的表达式为y=(x-3)2-4,即y=x2-6x+5. 因为将抛物线C1向下平移1个单位长度得到抛物线C2, 所以C2的表达式为y=(x-3)2-5, 即y=x2-6x+4. [方法归纳]在用二次函数一般式判断顶点坐标、对称轴和平移时,需要把一般式化为顶点式,然后进行判断. 例2　某公园要建造一个圆形的喷水池,在水池中央垂直于水面竖一根柱子,上面的A处安装一个喷头向外喷水.连喷头在内,柱高0.8 m.水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下,如图(1)所示. 根据设计图纸已知:如图(2)所示平面直角坐标系中,水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式是y=-x2+2x+0.8. (1)喷出的水流距水平面的最大高度是多少? (2)判断图(1)中OA左边抛物线的表达式. 解:(1)y=-x2+2x+0.8=-(x-1)2+1.8. 答:喷出的水流距水平面的最大高度为1.8