高等数学在高考中的运用——泰勒公式的介绍课件

泰勒公式的介绍 ——高等数学在高中的运用 目的 用多项式近似表示函数. 应用 理论分析, 近似计算. 一. 泰勒公式的建立 这些都是用一次多项式来近似表达函数的例子. 设 在 处可导，则有 ， 例如当 很小时，有如下的近似公式: 误差为 . 缺点 1. 精确度不高； 2. 误差不能估计. 从几何上看,缺陷1是由于我们在 附近用直线 代替曲线，精度当然不高. 以直代曲 特点 的一次多项式 需要解决的问题 如何提高精度 ? 如何估计误差 ? y=ex –1 y=1+x 1 x 0 y 设想 能否改用二次曲线, 三次曲线, …, 代替? 精度是否 能提高, 即：曲线的吻合程度是否会更好些呢? 设函数 在 处 阶可导 ,试找出一个 来近似表达 ，要求使得 与 之差是当 关于 的 次多项式 问题: 时比 高阶的无穷小. 分析 2.若有相同的切线 3.若弯曲方向相同 近似程度越来越好 1.若在点 对应点相交 假设 在 处的函数值及它的直到 阶导数在 处 得 ， ， ， 的值依次与 相等，即满足 二. 泰勒(Taylor)中值定理 泰勒中值定理1 如果函数 在 处具有 阶导数， 其中 . 那么存在 的一个邻域，对于该邻域内的任一 ，有 证 记 ，由于 由于 在 处具有 阶导数，因此 必在 的某邻 域内存在 阶导数,从而 也在该邻域内 阶可 则 导，反复应用洛必达法则 次 ，得 因此 . 导数定义 称为函数 在 处的带有佩亚诺余项的 阶泰勒公式. 注1 公式 称为佩亚诺余项. 注3 如果在泰勒公式中取 ，得到带有佩亚诺余项的 麦克劳林公式 注2 多项式 称为函数 在 处的 次泰勒多项式. 泰勒中值定理2 如果函数 在 的某个邻域 内 具有 阶导数，那么对任一 ，有 其中 ，这里 是 与 之间的某个值. 证 记 ,由于 柯西中值定理的条件，应用柯西中值定理，得 函数 及 在以 及 为端点的区间上满足 则 照此方法继续下去，经过 次后，得 注意到 ,得 称为函数 在 处的带有拉格朗日余项的 阶泰勒公式. 注1 公式 称为拉格朗日余项. 注2 如果存在正数 ，使得当 时，恒有 则 是比 高阶的无穷小量，且有误差估计式 注3 如果在泰勒公式中取 ，得到带有拉格朗日余项 的麦克劳林公式 误差估计为 泰勒中值定理2是拉格朗日中值定理的推广. 注4 当 时，泰勒公式即是拉格朗日中值公式 三. 泰勒(Taylor)公式的应用 例1 写出函数 的带有拉格朗日余项的 阶 麦克劳林公式. 解 因为 , 所以 代入公式,得 例2 求 的带有拉格朗日余项的 阶麦克劳林公式. 解 因为 ，所以 代入公式,得 常用初等函数的麦克劳林公式 常用初等函数的麦克劳林公式 三阶泰勒公式. 例3 求出函数 在点 处的带有佩亚诺余项的 解 由 ，得 例4 计算