2.2二次函数的图象与性质第1课时　二次函数y=ax²的图象与性质 教案 2023-2024学年 北师大数学九年级下册

2　二次函数的图象与性质 第1课时　二次函数y=ax2的图象与性质 教学目标： 1.会用描点法画函数y=ax2的图象. 2.结合y=ax2图象初步理解抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标,及y随x的变化情况. 3.培养学生探索、观察、发现的良好品质以及克服困难的毅力,并学会归纳总结自己的结论,体会成功的喜悦,加强继续学习的兴趣. 教学重难点： 重点:通过列表、描点、连线画函数y=ax2的图象. 难点:二次函数y=ax2的性质. 教学过程： 导入 1.什么叫二次函数? 2.下列函数中,哪些是二次函数? ①y=;②y=2x+1;③y=2x2+x;④y=2x2+1;⑤y=-x2;⑥y=x2. 解:③④⑤⑥是二次函数. 3.用描点法画函数图象的一般步骤是什么? 解:列表、描点、连线. 讲授新知 知识点1　二次函数y=±x2的图象 在同一平面直角坐标系内画出y=x2和y=-x2的图象. [点拨]按照列表、描点、连线的顺序完成,列表时要尽量多取几个点,连线时必须用光滑的曲线连接各点,不能用折线连接. 解:(1)列表: x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=x2 … 9 4 1 0 1 4 9 … y=-x2 … -9 -4 -1 0 -1 -4 -9 … (2)描点:在平面直角坐标系中描点. (3)连线:用光滑的曲线连接各点,便得到函数y=x2和y=-x2的图象. [总结] 二次函数y=±x2的图象形如物体抛射时所经过的路线,我们把它叫做抛物线. 知识点2　二次函数y=±x2的图象及性质 1.对于抛物线y=x2,下列结论:①开口向上;②顶点坐标是(0,0);③抛物线上两点(x1,y1)和 (x2,y2),若x1<x2,则y1<y2;④若点 (a,b) 在抛物线上,则点(-a,b)也在抛物线上,正确的有(C) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.二次函数y=±x2的图象及性质 抛物线 y=x2 y=-x2 顶点坐标 　(0,0)　  　(0,0)　  对称轴 y轴 y轴 位置 在x轴的上方(除顶点外) 在x轴的下方(除顶点外) 开口方向 　向上  　向下  增减性 在对称轴的左侧,y随着x的增大而　减小　,在对称轴的右侧,y随着x的增大而　增大　  在对称轴的左侧,y随着x的增大而　增大　,在对称轴的右侧,y随着x的增大而　减小　  最值 当x=　0　时,y取得最　小　值,最　小　值为　0　  当x=　0　时,y取得最　大　值,最　大　值为　0　  知识点3　二次函数y=ax2的图象及性质 在同一平面直角坐标系中作出y=3x2和y=-3x2的图象,并比较两者的异同. 解:如图所示:两图象开口大小形状相同,但是开口方向不同. [总结] 二次函数y=ax2的图象及性质 y=ax2(a≠0) a>0 a<0 图象 开口方向 向上 向下 顶点坐标 (0,0) (0,0) 对称轴 y轴(直线x=0) y轴(直线x=0) 增减性 在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小,在对称轴的右侧,y随着x的增大而增大 在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大,在对称轴的右侧,y随着x的增大而减小 最值 当x=0时,y最小=0 当x=0时,y最大=0 抛物线y=ax2(a≠0)的形状是由|a|来确定的,一般来说,|a|越大,抛物线的开口就越小 范例应用 例1　已知点A(-3,a)在抛物线y=-x2上. (1)求a的值; (2)点A关于y轴的对称点B的坐标是什么?如果点A,B关于x轴的对称点分别为C,D,判断哪些点仍然在抛物线y=-x2上,另外的点在抛物线y=x2上吗? (3)由此可以看出抛物线y=-x2和抛物线y=x2有什么关系? 解:(1)因为点A(-3,a)在抛物线y=-x2上,所以a=-(-3)2=-9. (2)B(3,-9),C(-3,9),D(3,9),点B在抛物线y=-x2上,点C,D在抛物线y=x2上. (3)关于x轴对称. 例2　说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标. (1)y=2x2; (2)y=-2x2. 解:(1)a=2>0,开口向上,对称轴为直线x=0,顶点坐标为(0,0). (2)a=-2<0,开口向下,对称轴为直线x=0,顶点坐标为(0,0). 课堂训练 1.给出下列函数:①y=x;②y=-x;③y=x2;④y=.当x<0时,y随x的增大而减小的函数有(C) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.在抛物线y=2x2上的一个点是(D) A.(4,4) B.(-1,-2) C.(2,0) D.(1,2) 3.抛物线y=2x2,y=x2,y