3.3幂函数 课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第三章 函数的概念与性质 3.3　幂函数 中山中学 我们说要学好数学，要先了解它的发展史，比如我们今天要学习的幂函数，“幂”其原意是遮盖东西用的布，后来引申为面积.《九章算术》刘徽注：“凡广纵相乘谓之幂.”后来又推广引申为多次乘方的结果.到了清明时代，既称面积为幂，也称平方或立方为幂.清末之后，幂逐渐开始专指乘方概念. 引入 中山中学 课程标准 核心素养 通过具体实例，结合图象，理解它们的变化规律，了解幂函数. 通过对幂函数的学习，提升“数学抽象”、“逻辑推理”、“数学运算”的核心素养. 中山中学 中山中学 栏目索引 课前自主预习 课后拓展提高 课堂互动探究 课前自主预习 知识点1　幂函数概念 一般地，函数______________叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． [微思考] 幂函数解析式的结构特征是什么？ 提示 有四个特征：(1)指数为常数；(2)底数是自变量；(3)幂xα的系数为1；(4)只有1项． 中山中学 y＝xα 中山中学 中山中学 知识点2　五个幂函数的性质 {x|x≠0}　 奇　 [0，＋∞)　 [0，＋∞)　 {y|y≠0}　 偶　 奇　 非奇非偶　 奇　 增　 减　 增　 增　 减　 减　 [思考] （1）通过观察五个幂函数的图象你能发现他们都经过了第几象限，都不经过哪个象限呢？ 提示 在幂函数中，当x>0时，幂函数值大于0，故图象一定经过第一象限，不经过第四象限。 中山中学 中山中学 [体验] 中山中学 2.如图是幂函数y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象，则（ ） A.－1<n<0<m<1 B.n<－1，0<m<1 C.－1<n<0，m>1 D.n<－1，m>1 中山中学 B 课堂互动探究 探究一　幂函数的概念 例1 函数f(x)＝(m2－m－5)xm－1是幂函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)是增函数．试确定m的值． 解　根据幂函数的定义，得m2－m－5＝1.解得m＝3或m＝－2. 当m＝3时，f(x)＝x2，在(0，＋∞)上是增函数； 当m＝－2时，f(x)＝x－3，在(0，＋∞)上是减函数，不符合要求．故m＝3. 中山中学 [互动探究]　在本例中其他条件不变，只把“f(x)是增函数”改为“f(x)是减函数”，又如何确定m的值？ 解　根据幂函数的定义，得m2－m－5＝1.解得m＝3或m＝－2. 当m＝3时，f(x)＝x2，在(0，＋∞)上是增函数，不符合题意； 当m＝－2时，f(x)＝x－3，在(0，＋∞)上是减函数． 故m＝－2. 中山中学 [方法总结] 判断幂函数的依据及求解含参幂函数的方法 (1)依据：若一个函数为幂函数，则该函数应具备幂函数解析式所具备的特征，这是解决与幂函数有关问题的隐含条件． (2)方法：已知函数为幂函数，将幂函数一般形式改写为f(x)＝（1）xα+（0）时，令xα 的系数为1，xα的后面为0，列出相应的方程求解参数即可。 中山中学 (1)已知f(x)＝ax2a＋b－b＋1是幂函数，则函数的幂指数等于（ ） A.2 B.1 C. 3 D.0 牛刀小试 C 中山中学 探究二　幂函数的图象及应用 (1)通过观察函数图像我们可以发现： 当α>1时，幂函数的图象下凸；当α＝1时，幂函数的解析式为y＝x；当0<α<1时，幂函数的图象上凸. (2)请同学们思考下面的结论是否成立。 若函数为偶函数，函数图象一定出现在第二象限，若函数为奇函数，函数图象一定出现在第三象限. 中山中学 习题1 函数f(x)＝－x3的图象是 f(x)＝－x3与幂函数y＝x3的图象关于x轴对称，因此选项B的图象适合. √ 中山中学 探究三　幂函数性质的应用 中山中学 [方法总结] 利用幂函数单调性比较大小的三种基本方法 中山中学 课后拓展提高 幂函数性质的综合应用 中山中学 中山中学 拓展2 ：若幂函数f(x)＝(2m2－6m＋5)x2m－3的图象与x轴没有交点，则f(x)的图象关于________对称 A.原点 B.x轴 C.y轴 D.不确定 因为函数为幂函数，且与x轴无交点， 所以2m2－6m＋5＝1，2m－3<0. 中山中学 √ 小结 (1)幂函数的定义； (2)幂函数的图像与性质； (3)利用幂函数的单调性判别大小 谢谢 【画图】 在同一坐标系中分别画出函数的图象，思考并回答： （1）函数图象有什么共同特征？ （2）完成下列表格 提示　五个幂函数的图象均过定点(1，1). 定义域 R R R [0，＋∞) _________ 值域 R _____________ R __________ ___________ 奇偶性 ________ ________ _