5.4.2正弦函数、余弦函数的性质第一课时周期性与奇偶性 课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第5章　5.4.2　正弦函数、余弦函数的性质 第1课时　 周期性与奇偶性 学习目标 1.理解周期函数的概念，能熟练地求出简单三角函数的周期.(重点) 2.会根据之前所学结合函数的图象研究三角函数的奇偶性，能正确判断一些三角函数的变 式的奇偶性.(难点) 同学们，在生活中，大家知道月亮圆了又缺，缺了又圆，这一周而复始的自然现象，有诗为证：“昨夜圆非今日圆，却疑圆处减婵娟，一年十二度圆缺，能得几多时少年”，从诗中，我们能领悟到光阴无情、岁月短暂的道理，告诫人们要珍惜时光，努力学习.我们知道，从角到角的三角函数值都有周而复始的现象，你知道这一现象反映的是函数的什么性质吗？有了前面的三角函数的图象，今天我们来一起探究三角函数的一些性质. 导语 正弦函数、余弦函数的周期 一 回顾与引入 上一节课，我们已经学习了正余弦曲线的画法和形状，你还能想起它们的位置和形状吗？ 接下来，我们就应该研究正余弦函数的性质了. 所谓性质 就是研究对象在变化过程中保持不变性的那些特征 从前面的学习中，我们知道，三角函数首先是具有”周而复始”的变化规律，这就是我们接下来要研究的性质：周期性 问题1　正弦函数、余弦函数的图象的特点可以从哪些方面进行验证？ 提示　正弦函数、余弦函数的图象具有“周而复始”的变化规律.我们可以从两个方面来验证这种特点：①函数的图象，回顾正弦函数、余弦函数的图象的画法，我们是先画出[0,2π]上的函数图象，然后每次向左(右)平移2π个单位长度得到整个定义域上的函数图象. ②诱导公式一，sin(α＋2kπ)＝sin α，cos(α＋2kπ)＝cos α，对任意的k∈Z都成立. 1.函数的周期性 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个 ，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且 ，那么函数f(x)就叫做周期函数. 叫做这个函数的周期. 2.最小正周期 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个 ，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期. 非零常数T f(x＋T)＝f(x) 非零常数T 最小的正数 知识梳理 经典应用 2 1 思考1：正弦就是单位圆上点的纵坐标，当这个点做圆周运动时，其纵坐标(正弦)就呈现周性的变化，由此你能猜出正弦函数的周期吗？ 探究新知（一） sin x = n 当P点转一周，即角 x 变化2π时，sin x的值重复出现. 因此，函数y=sin x的周期为2π 思考2：你能从y=sin x图象的角度和代数的角度对上述猜想进行解释吗？ 从图象上看，每隔2π，y=sin x的图象重复. 由诱导公式知， sin (x+2kπ)=sin x , k∈Z 思考3：2π是y=sin x 的周期，那么4π，6π，-2π，-4π等呢? 都是. 事实上，y=sin x有无数个周期. 3.正弦函数是 ，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是 . 4.余弦函数是 ，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是 . 周期函数 周期函数 2π 2π 知识梳理 注意点： (1)关键词“每一个x”体现了对定义域中每一个值都得成立. (2)周期函数的周期不唯一，任何T的非零整数倍都是函数的周期. (3)三角函数的周期是函数的整体性质，我们在研究函数时，只需研究一个周期上的图象和性质即可. (4)若不加特殊说明，一般求三角函数的周期的问题，求的是函数的最小正周期. 知识梳理 正弦函数y=sin x 和余弦函数y=cos x 都是周期函数； 2kπ (k∈Z且 k≠0) 都是它们的周期， 最小正周期 2π. 正余弦函数的周期性 解：(1)因为3sin(x＋2π)＝3sin x， 由周期函数的定义知，y＝3sin x的周期为2π. 解: 解: 拓展1：y＝|cos x|，x∈R. y＝|cos x|的图象如图(实线部分)所示. 由图象可知，y＝|cos x|的周期为π. 求三角函数周期的方法 (1)定义法：利用周期函数的定义求解. (2)公式法：对形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A≠0，ω≠0)的函数，T＝ (3)图象法：画出函数图象，通过图象直接观察即可. 反思感悟 19 跟踪训练1　求下列三角函数的最小正周期： (1)y＝|sin x|； (2)y＝cos πx； 由f(x)＝|sin x|，f(x＋π)＝|sin(x＋π)|