专题08 正态分布题型全归纳（8种题型）-学霸满分·2023-2024学年高二数学上学期重难点专题提优训练（人教B版2019选择性必修第二册）

专题08 正态分布题型全归纳（8种题型） 目录 【题型一】正态密度函数 1 【题型二】概率分布曲线的认识 3 【题型三】正态曲线的性质 6 【题型四】标准正态分布 8 【题型五】指定区间的概率 9 【题型六】正态分布的实际应用 11 【题型七】3σ原则 18 【题型八】根据正态曲线的对称性求参数 24 【题型一】正态密度函数 1．“杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究应用与推广，发明了“三系法”籼型杂交水稻，成功研究出“两系法”杂交水稻，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全，农业科学发展和世界粮食供给做出了杰出贡献某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高（单位：）服从正态分布，其密度曲线函数为，，则下列说法错误的是（    ） A．该地水稻的平均株高为 B．该地水稻株高的方差为100 C．随机测量一株水稻，其株高在120cm以上的概率比株高在70cm以下的概率小 D．随机测量一株水稻，其株高在和在（单位：cm）的概率一样大 2．已知正态分布密度函数，，则分别是（  ） A．0和4 B．0和2 C．0和8 D．0和 3．函数(其中)的图象可能为（   ） A．   B．   C．    D．   4．已知三个正态分布密度函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（     ） A．， B．， C．， D．， 5．已知某公司人均月收入X服从正态分布，其密度函数图象如图所示． (1)写出此公司人均月收入的密度函数的表达式； (2)求此公司人均月收入在8 000～8 500元之间的人数所占的百分比． 【题型二】概率分布曲线的认识 6．正态分布 （1）连续型随机变量：随机变量的取值充满某个区间甚至整个实轴，但取一点的概率为 ，我们称这类随机变量为连续型随机变量. （2）正态分布：函数f（x）＝，x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数. 我们称f（x）为 ，称它的图象为正态密度曲线，简称 ，如图所示. 若随机变量X的概率分布密度函数为f（x），则称随机变量X服从 . 记为X～ . 特别地，当 时，称随机变量X服从标准正态分布. 若X～N（μ，σ2），则如图所示，X取值不超过x的概率P（X≤x）为图中区域A的面积，而P（a≤X≤b）为区域B的面积. （3）正态曲线的特点 ①曲线是单峰的，它关于直线 对称； ②曲线在x＝μ处达到峰值 ； ③当|x|无限增大时，曲线无限接近 . ④在参数σ取固定值时，正态曲线的位置由μ确定，且随着μ的变化而沿x轴平移，如图1所示.            图1 ⑤当μ取定值时，正态曲线的形状由σ确定. 当σ较小时，峰值高，曲线 ，表示随机变量X的分布比较 ；当σ较大时，峰值低，曲线 ，表示随机变量X的分布比较 ，如图2所示.            图2 （4）正态分布的均值、方差：若X～N（μ，σ2），则E（X）＝μ，D（X）＝σ2. （5）正态分布在三个特殊区间内取值的概率值 ①P（μ－σ≤X≤μ＋σ）≈0. 682 7； ②P（μ－2σ≤X≤μ＋2σ）≈0. 954 5； ③P（μ－3σ≤X≤μ＋3σ）≈0. 997 3. 在实际应用中，通常认为服从于正态分布N（μ，σ2）的随机变量X只取[μ－3σ，μ＋3σ]中的值，这在统计学中称为3σ原则. （6）正态分布计算常用结论 ①P（X<a）＝1－P（X≥a）. ②P（X<μ－a）＝P（X≥μ＋a）. ③P（X<μ－b）＝ （b>0）. 7．设，，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是（    ） A． B． C．对任意正数， D．对任意正数， 8．李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到，假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布，．X和Y的分布密度曲线如图所示．则下列结果正确的是（    ） A． B． C． D． 9．甲、乙两类水果的质量（单位：kg）分别服从正态分布，，其相应的分布密度曲线如图所示，则下列说法正确的是（    ） （注：正态曲线的函数解析式为，） A．甲类水果的平均质量 B．乙类水果的质量比甲类水果的质量更集中于均值左右 C．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量大 D．乙类水果的质量服从的正态分布的参数 【题型三】正态曲线的性质 10．下列结论正确的个数（    ） ①若随机变量，则 ②已知随机变量满足，若，则， ③有8名学生，其中5名男生，从中选出4名学生，选出的学生中男生人数为，则其数学期望为2.5 ④对于二项式，存在，使展开式中有