第03讲 一元线性回归模型及其应用-备战2024年高考数学《解读•突破•强化》一轮复习讲义（新高考专用）

备战2024年高考《解读•突破•强化》一轮复习讲义（新高考） 第03讲 一元线性回归模型及其应用 【考试要求】 1.结合实例，了解样本相关系数的统计含义，了解样本相关系数与标准化数据向量夹角的关系. 2.结合实例，会通过相关系数比较多组成对数据的相关性. 3.结合具体实例，了解一元线性回归模型的含义，了解模型参数的统计意义，了解最小二乘原理，掌握一元线性回归模型参数的最小二乘估计方法. 4.针对实际问题，会用一元线性回归模型进行预测. 知识点1 变量的相关关系 （1）常见的两变量之间的关系有两类：一类是函数关系，另一类是相关关系.与函数关系不同，相关关系是一种非确定性关系； （2）如果从整体上看，当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现增加的趋势，就称这两个变量 ；如果当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值呈现减少的趋势，则称这两个变量 ； （3）一般地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在 附近，就称这两个变量线性相关. 知识点2 样本相关系数 （1）样本相关系数r＝ ； （2）样本相关系数r的性质 ①当r＞0时，称成对样本数据 相关；当r＜0时，成对样本数据 相关；当r＝0时，成对样本数据间没有线性相关关系； ②样本相关系数r的取值范围为 .当｜r｜越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越 ； 当｜r｜越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越 . 知识点3 一元线性回归模型 （1）经验回归直线：从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在通过散点图中心的一条直线附近，称两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做经验回归直线； （2）经验回归方程：＝x＋， 其中＝＝，＝－； （3）最小二乘法：通过求Q＝（yi－bxi－a）2的最小值而得到经验回归直线的方法，即使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小，这一方法叫做最小二乘法. 考点4：残差与残差分析 1．残差 对于响应变量Y，通过观测得到的数据称为观测值，通过经验回归方程得到的称为预测值，观测值减去预测值称为残差． 2．残差分析 残差是随机误差的估计结果，通过对残差的分析可以判断模型刻画数据的效果，以及判断原始数据中是否存在可疑数据等，这方面工作称为残差分析． 考点5：对模型刻画数据效果的分析 1．残差图法 在残差图中，如果残差比较均匀地集中在以横轴为对称轴的水平带状区域内，则说明经验回归方程较好地刻画了两个变量的关系． 2．残差平方和法 残差平方和越小，模型的拟合效果越好． 3．R2法 可以用R2＝1－来比较两个模型的拟合效果，R2越大，模型拟合效果越好，R2越小，模型拟合效果越差． 1.下列结论中正确的是() A相关关系是一种非确定性关系． B散点图是判断两个变量相关关系的一种重要方法和手段． C经验回归直线＝x＋至少经过点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)中的一个点． D样本相关系数的绝对值越接近1，成对样本数据的线性相关程度越强． 2．在对两个变量x，y进行回归分析时有下列步骤： ①对所求出的经验回归方程作出解释；②收集数据(xi，yi)，i＝1,2，…，n；③求经验回归方程；④根据所收集的数据绘制散点图． 则下列操作顺序正确的是(　　) A．①②④③ B．③②④① C．②③①④ D．②④③① 3．对于x，y两变量，有四组成对样本数据，分别算出它们的样本相关系数r如下，则线性相关性最强的是(　　) A．－0.82 B．0.78 C．－0.69 D．0.87 4.在一元线性回归模型Y＝bx＋a＋e 中，下列说法正确的是 （　　） A.Y＝bx＋a＋e 是一次函数 B.响应变量Y是由解释变量x唯一确定的 C.响应变量Y除了受解释变量x的影响外，可能还受到其他因素的影响，这些因素会导致随机误差e的产生 D.随机误差e是由于计算不准确造成的，可通过精确计算避免随机误差e的产生 5．某单位为了了解办公楼用电量y(度)与气温x(℃)之间的关系，随机统计了四个工作日的用电量与当天平均气温，并制作了对照表： 气温(℃) 18 13 10 －1 用电量(度) 24 34 38 64 由表中数据得到经验回归方程＝－2x＋，当气温为－4 ℃时，预测用电量约为(　　) A．68度 B．52度 C．12度 D．28度 考点一　成对数据的相关性 例1 (1)下列四个图各反映两个变量的某种关系，其中可以看作具有较强线性相关关系的是（    ） A．①③ B．①④ C．②③ D．①②④ （2）(2023·保定模拟)已知两个变量x和y之间有线性相关关系，经调查得到如下样本数据： x 3 4 5 6 7 y 3.5 2.4