专题02 奇偶性及应用13种常见考法归类-解密2023-2024学年高一数学上学期期末核心微专题考点通关手册(人教A版2019必修第一册)

专题02 奇偶性及应用13种常见考法归类 解密2023-2024学年高一数学上学期期末核心微专题考点通关手册 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 函数奇偶性的定义及判断 考点二 抽象函数的奇偶性 考点三 利用奇偶性求值 考点四 利用奇偶性求解析式 考点五 由函数的奇偶性求参数 考点六 利用函数的奇偶性求最值 考点七 应用函数的奇偶性画函数图象 考点八 函数的单调性和奇偶性的综合应用 考点九 从奇偶性到对称性(对称性的判别) 考点十 对称性的综合应用 考点十一 基于奇偶(对称性)的凸凹反转 1、函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数 关于y轴对称 奇函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数 关于原点对称 注： ①奇函数图像关于原点对称f(－x)＝－f(x) ②偶函数图像关于轴对称f(－x)＝f(x) ③对于含参函数中参数的求值问题，在填空题与选择题中，掌握以下两个结论，会给解题带来方便： (i)f(x)为偶函数⇔f(x)＝f(|x|)．(ii)若奇函数在x＝0处有意义，则f(0)＝0. ④奇函数在轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在轴两侧相对称的区间增减性相反．(重要） ⑤利用性质法来判断奇偶性（以函数的定义域关于原点对称为前提，所有奇偶函数都非零函数）： （1） 奇函数奇函数奇函数；（2）偶函数偶函数偶函数；（3）偶函数奇函数=非奇非偶函数 记忆口诀：加减看自身 （3）奇函数奇函数偶函数；（4）偶函数偶函数偶函数；（5）奇函数偶函数奇函数 （6） （7） 记忆口诀：乘除看正负 （注：在记忆的时候可将偶函数看成“+”号，将奇函数看成“-”号） ⑥奇(偶)函数倒数或相反数运算，奇偶性不变； ⑦奇(偶)函数的绝对值运算，函数的奇偶性均为偶函数． 2、与函数奇偶性有关的常见问题及解题策略 （1）已知函数的奇偶性求函数值 利用奇偶性的定义求函数的值，这是奇偶性定义的逆用，注意利用常见函数（如一次函数、反比例函数、二次函数）具有奇偶性的条件求解． （2）已知函数的奇偶性求解析式 利用奇偶性求函数的解析式，已知函数奇偶性及其在某区间上的解析式，求该函数在整个定义域上的解析式的方法是：首先设出未知区间上的自变量，利用奇、偶函数的定义域关于原点对称的特点，把它转化到已知的区间上，代入已知的解析式，然后再次利用函数的奇偶性求解即可． （3）已知函数的奇偶性，求函数解析式中参数的值 ①若表示定义域的区间含有参数，则可利用对称性列出关于参数的方程. ②一般化策略：对x取定义域内的任一个值，利用f(-x)与f(x)的关系式恒成立来确定参数的值. （4）应用奇偶性画图象和判断函数单调性 ①如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数．如果一个函数是偶函数，则这个函数的图象是以轴为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图象关于轴对称，则这个函数是偶函数． ②根据奇、偶函数的图象特征，可以得到： 奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性．上述结论可简记为“奇同偶异”．偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大（小）值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数． （5）利用函数的奇偶性求最值 ①奇函数的性质：如果函数是定义在区间上的奇函数，则 ②偶函数的性质：如果函数是定义在区间上的偶函数，则函数是定义在区间上的最值等于函数在区间（或）上的最值。 3、 常见函数的奇偶性及增减性 （1）幂函数= 非零常数可看成偶函数 （2） 是偶函数 （如偶 先减后增 偶 先减后增） （3） 是奇函数（或） （如奇 增 奇 增） （4） 是奇函数 （5）是奇函数 （如奇 减 奇 减 奇 增 奇 增） （6） 是奇函数 （7） 是奇函数 （如奇 增 奇 减 偶 增） （8）与（）都是奇函数 （如：奇 增 奇 增 ） （9） 偶函数值域 还是偶函数 单调性与内层偶函数相同 （如 偶函数 先减后增 偶函数 先减后增 偶函数 先增后减 偶函数 先减后增 奇函数 增函数 奇函数 增函数） （10）与都是偶函数 （11）是奇函数；是偶函数；是奇函数 （12）为偶函数；是奇函数。 考点一 函数奇偶性的定义及判断 1．（20