能力微专训1——四大常考相似模型课件2023-2024学年北师大版九年级上册数学

第四章　图形的相似 能力微专训1——四大常考相似模型 单击此处编辑母版文本样式 图形的相似是平面几何中非常重要的内容，也是中考中常考的考点.三角形相似的判定方法有多种，解题时要合理选用判定方法.相似三角形的判定方法有平行法；三组对应边的比相等(类似于三角形全等的判定方法“SSS”)；两组对应边的比相等，且夹角相等(类似于三角形全等的判定方法“SAS”)；两角对应相等；直角三角形中斜边、直角边对应成比例(类似于直角三角形全等的判定方法“HL”). 本专题把相似三角形的基本图形归类成四大常考相似模型:A字型、X字型、旋转型和K字型(一线三等角型). 专训导读 单击此处编辑母版文本样式 A字型 特征:有一个公共角. (1)A字型 已知:DE∥BC.结论:＝＝. 单击此处编辑母版文本样式 (2)反A字型 已知:∠AED＝∠C.结论:＝＝. 单击此处编辑母版文本样式 (3)反A字型(共边共角) 已知:∠ABD＝∠C.结论:①＝＝；②AB2＝AD·AC. 单击此处编辑母版文本样式 (4)双垂直型 已知:△ABC是直角三角形，AD⊥BC.结论:①AB2＝BD·BC；②AC2＝CD·BC；③AD2＝BD·CD. 单击此处编辑母版文本样式 【例1】如图，在△ABC中，P为边AB上一点，且∠ACP＝∠B，若AP＝2，BP＝3，则AC的长为 .  提示:∵∠A＝∠A，∠ACP＝∠B， ∴△ABC∽△ACP， ∴＝， ∴AC2＝AP·AB＝AP·(AP＋BP)＝2×(2＋3)＝10， ∴AC＝.故答案为. 单击此处编辑母版文本样式 方法归纳交流　判断两个三角形相似，若已知一角对应相等，可先考虑另一角对应相等，注意公共角或对顶角或同角(等角)的余角(补角)相等. 单击此处编辑母版文本样式 变式训练　如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC边上，DE∥BC，若AD＝1，BD＝2，则的值为 　.  　 单击此处编辑母版文本样式 X字型 特征:有一组隐含的等角(即对顶角相等). (1)X字型 已知:AB∥CD.结论:＝＝. 单击此处编辑母版文本样式 (2)反X字型 已知:∠A＝∠D.结论:＝＝. 单击此处编辑母版文本样式 【例2】如图，点E在平行四边形ABCD的边DC上，若DE∶EC＝2∶3，则△AFB与△CFE的面积之比为 .  提示:在平行四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD. ∵DE∶EC＝2∶3， ∴EC∶AB＝3∶5. 单击此处编辑母版文本样式 ∵AB∥CE， ∴△AFB∽△CFE， ∴＝＝. 故答案为. 单击此处编辑母版文本样式 方法归纳交流　平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形相似. 变式训练　如图，AB∥CD，AD，BC相交于点E，过点E作EF∥CD交BD于点F，AB∶CD＝2∶3，则EF∶AB＝　3∶5　.  3∶5　 单击此处编辑母版文本样式 旋转型 特征:有一个公共顶点的一组角相等. (1)旋转不相交型 已知:∠BAC＝∠DAE(或∠BAD＝∠CAE)，∠B＝∠D.结论:△ABC∽△ADE. 单击此处编辑母版文本样式 (2)旋转相交型 已知:∠BAC＝∠DAE(或∠BAD＝∠CAE)，∠B＝∠D.结论:△ABC∽△ADE. 单击此处编辑母版文本样式 【例3】如图，∠DAB＝∠EAC，∠ADE＝∠ABC. (1)求证:△ADE∽△ABC. (2)求证:＝. 单击此处编辑母版文本样式 证明:(1)∵∠DAB＝∠EAC， ∴∠DAE＝∠BAC. 又∵∠ADE＝∠ABC， ∴△ADE∽△ABC. (2)∵△ADE∽△ABC，∴＝. ∵∠DAB＝∠EAC， ∴△ADB∽△AEC， ∴＝. 单击此处编辑母版文本样式 方法归纳交流 由已知∠DAB＝∠EAC，根据角的和差可得∠DAE＝∠BAC是解题的关键，两组对应角相等，三角形相似可证. 单击此处编辑母版文本样式 变式训练 如图，在△ABC与△ADE中，∠ACB＝∠AED＝90°，连接BD、CE，∠EAC＝∠DAB. (1)求证:△ABC∽△ADE. (2)已知BC＝4，AC＝3，AE＝，将△AED绕点A旋转，当点E落在线段CD上时，求BD的长. 单击此处编辑母版文本样式 解:(1)证明:∵∠EAC＝∠DAB， ∴∠CAB＝∠EAD. ∵∠ACB＝∠AED＝90°， ∴△ABC∽△ADE. 单击此处编辑母版文本样式 (2)∵∠ACB＝90°，BC＝4，AC＝3， ∴AB＝＝＝5. ∵△ABC∽△ADE， ∴＝， ∴AD＝＝. 单击此处编辑母版文本样式 ∵∠EAC＝∠DAB， ∴△CAE∽△BAD， ∴∠AEC＝∠ADB. 如图，将△AED绕点A旋转，当点E落在线段CD上时，∠AEC＝∠ADB＝90°， ∴BD＝＝＝. 单击此处编辑母版文本样式