专题1-10 数列放缩通项证明不等式与数列不等式恒成立问题-2023-2024学年高二数学上学期期末考点·题型·技巧与方法重难点突破（人教A版2019选择性必修第一、二册）

专题1-10 数列放缩拆分练习与数列不等式恒成立问题 题型一 求和后放缩 题型二 放缩通项再裂项相消求和 题型三 放缩成等比数列 题型四 根式的放缩 题型五 跳过第一项再放缩求和 题型六 利用重要不等式放缩 题型七 通过糖水不等式进行放缩 题型八 放缩后错位相减求和 题型九 数列恒成立问题 数列通项放缩问题是放缩问题的常考类型，相较于求和之后再比较大小的题型而言，这一部分对放缩对象的处理需要一定的技巧，因而对很多学生来说具有挑战性，是数列放缩中的难点. 此节中，我将分为如下几个点展开：第一，将通项放缩为可裂项的结构，然后裂项求和；第二，将通项放缩为等比结构（等差比结构）然后错位相减求和，总之，处理的基本原则就是将不可求和放缩成可求和再求和放缩. 当然，下面的这些常见的裂项公式与放缩公式需要注意. 1．常见的裂项公式：必须记 例如：或者等 2.一个重要的指数恒等式： 次方差公式 这样的话，可得：，就放缩出一个等比数列. 3.糖水不等式 分子分母同加常数： 常见放缩公式：（太多了，不一定要全部记，自行选择） 一、等差型 （1）； （2）； （3）； （4）； 二、根式型 （5）； （7）； （8） ； （9） ； 三、指数型 （10）； （11）； （12）； （13）． （14）． 题型一 求和后放缩 1． 已知，设，为数列的前项和.证明： 2． 已知为，证明：． 3． 已知，设，记，证明：. 4． 已知数列中，，，数列满足. (1)求数列的通项公式；(2)设数列的前项和为，证明. 题型二 放缩通项再裂项相消求和 5． 已知，若数列的前n项和为，求证：. 6． 已知数列前n项积为，且，设，求证：． 7． 设求证： 8． 已知，设，数列的前项和为，求证： 9． 已知，记，，．证明：当时，． 10． 已知，若，为的前n项和，证明：． 11． 已知数列，设，求证： 12． 已知，的前项和为，，，数列的前项和为，证明：. 【详解】，则，. ，则. ∴ . ∴ 题型三 放缩成等比数列 13． （2014全国2卷）已知，证明：. 14． 已知，证明： 15． 已知，记，求证：． 【解析】当时，； 当时， ， 所以． 16． 记，证明：． 17． 已知，数列，证明：. 18． 已知数列，，求证：对任意的且，有 19． 已知，求证：对任意的，． 题型四 根式的放缩 20． 的整数部分是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2023届·广东省综合素质测试（光大联考） 21． 已知正项数列的前n项和为，且满足. (1)证明：数列是等差数列； (2)设数列的前n项和为，证明： 22． 已知数列的前项和，设数列的前项和，且满足，求证： 23． （2021浙江卷）已知数列满足.记数列的前n项和为，则（    ） A． B． C． D． 题型五 跳过第一项再放缩求和 24． 已知，设数列，证明：． 25． 已知数列满足且，求证：． 26． 已知，若，数列的前n项和为，证明：. 27． 已知，证明：． 题型六 利用重要不等式放缩 28． 设求证 题型七 通过糖水不等式进行放缩 29． 求证 题型八 放缩后错位相减求和 2024届·广州·仲元中学校考 30． 已知是公差为2的等差数列，其前8项和为是公比大于0的等比数列，， (1)求和的通项公式： (2)记，证明： 题型九 数列恒成立问题 31． 已知等差数列的前n项和记为（），满足,数列为单调递减数列，求的取值范围. 32． 已知数列满足：，.设，若对于任意的，恒成立，则实数的取值范围为 33． 已知数列{an}对任意m，n∈N*都满足am+n=am+an，且a1=1，若命题“∀n∈N*，λan≤+12”为真，则实数λ的最大值为 . 34． 数列满足，若对任意，所有的正整数n都有成立，则实数k的取值范围是 . 35． 已知，若对于任意恒成立，则实数的取值范围是 ． 36． 设是数列的前项和，，若不等式对任意恒成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 37． 已知数列的前n项和为，满足：，且，为方程的两根，且.若对于任意，不等式恒成立，则实数的取值范围为 . 38． 已知，，设数列前项和，求使得不等式成立的的最小值. 39． 已知数列中，，满足. （1）求数列的通项公式； （2）设为数列的前项和，若不等式对任意正整数恒成立，求实数的取值范围. 8 / 8 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1-10 数列放缩拆分练习与数列不等式恒成立问题 题型一 求