专题1-9 数列性质的综合运用17类题型-2023-2024学年高二数学上学期期末考点·题型·技巧与方法重难点突破（人教A版2019选择性必修第一、二册）

专题1-9 数列性质的综合运用17类题型 近2年考情 考题示例 考点分析 关联考点 2023年新2卷，第8题 基本量的计算 等差数列片段和相关计算 2023新高考1卷，第7题 等差数列前n项和性质的判断 等差数列前n项和解析式特征 2023年全国乙卷理数，15题 等比数列基本量计算 构造方程组求等比数列首项和公比 2023年全国甲卷理数，5题 等比数列前n项和的基本量计算 构造方程求基本量 2023新高考1卷，第20题 已知等差数列的和求公差 等差中项与前n项和的计算 知识点梳理 模块一 等差数列 【题型1】等差中项与前n项和 【题型2】等差数列 片段和 【题型3】等差数列及其前n项和的基本量计算 【题型4】通过等差数前n项和的比值相关运算 【题型5】等差数列奇偶项和相关运算 【题型6】等差数列前n项和的单调性与最值 【题型7】等差数列性质判断与综合运用 【题型8】等比数列及其前n项和的基本量计算 模块二 等比数列 【题型9】等比数列中基本量的计算 【题型10】等比数列的基本性质 【题型11】等比数列 片段和 【题型12】等比中项的运用 【题型13】等比数列性质判断与综合运用 【题型14】等差数列与等比数列混合计算求值 模块三 其它综合问题 【题型15】周期数列 【题型16】数列中的最值问题 【题型17】数列新定义问题 知识点梳理 一、基本量计算方法 a1，d，n称为等差数列的三个基本量，an和Sn都可以用这三个基本量来表示，五个量a1，d，n，an，Sn中，可知三求二，即等差数列的通项公式及前n项和公式中“知三求二”的问题，一般是通过通项公式和前n项和公式联立方程(组)来求解．这种方法是解决数列运算的基本方法．在运算中要注意等差数列性质的应用． 二、等差数列重要性质 若数列{an}是等差数列，公差是d，则等差数列{an}有如下性质： (1)当d>0时，{an}是递增数列；当d<0时，{an}是递减数列；当d＝0时，{an}是常数列． (2)an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*，n≠m)． (3)＝d(m，n∈N*且n≠m)． (4)若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq.特别地，若m＋n＝2p(m，n，p∈N*)，则am＋an＝2ap. 三、求等差数列前n项和Sn最值的方法 (1)寻找正、负项的分界点，可利用等差数列的性质或利用或来寻找． (2)运用二次函数的图象求最值． 四、等差数列奇偶项问题 (1)若等差数列的项数为2n，则S2n＝n(an＋an＋1)，S偶－S奇＝nd，＝. (2)若等差数列的项数为2n＋1，则S2n＋1＝(2n＋1)an＋1，S偶－S奇＝－an＋1，＝. 五、等差数列前n项和的性质 (1)若数列{an}是公差为d的等差数列，Sn为其前n项和，则数列也是等差数列，且公差为. (2)若Sm，S2m，S3m分别为等差数列{an}的前m项、前2m项、前3m项的和，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m也成等差数列，公差为m2d. (3) 设两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，则＝. 六、等比数列的性质 (1)若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am·an＝ap·aq； 若m＋n＝2k(m，n，k∈N*)，则a＝am·an. (2)若数列{an}是等比数列，则{|an|}，{a}，仍为等比数列． 七、等比数列的前n项和性质 1.在等比数列{an}的五个量a1，q，an，n，Sn中，a1与q是最基本的元素，当条件与结论间的联系不明显时，均可以用a1与q表示an与Sn，从而列方程组求解．在解方程组时经常用到两式相除达到整体消元的目的．这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用． 2.等比数列前n项和的常用性质： (1)若共有2n项，则S偶∶S奇＝q. (2)“片断和”性质：等比数列{an}中，公比为q，前m项和为Sm(Sm≠0)，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…，Skm－S(k－1)m，…构成公比为qm的等比数列． 模块一 等差数列 【题型1】等差中项与前n项和 1． 在等差数列中，，则此数列的前13项的和等于　　 A．13 B．26 C．8 D．162 2． 已知公差不为0的等差数列满足，则　0　． 3． 两个等差数列，的前项和分别为和，已知，求的值． 4． 已知等差数列和的前n项和分别为，，若，则（    ）． A． B． C． D． 2023新高考1卷——基本量计算：利用等差中项简化计算 5． 设等差数列的公差为，且．令，记分别为数列的前项和． (1)若，求的通项公式； (2)若为等差数列，且，求． 【题型2】等差数列 片段和 2023新高考2卷T8 6． 记为等比数列的前n项和，若，，则（