专题1-8 数列求和14类题型一网打尽-2023-2024学年高二数学上学期期末考点·题型·技巧与方法重难点突破（人教A版2019选择性必修第一、二册）

专题1-8 数列求和14类题型一网打尽 数列求和常见题型梳理 【题型1】错位相减 【题型2】裂项相消（常规） 【题型3】分组求和 【题型4】裂项相消（进阶） 【题型5】并项求和 【题型6】倒序相加 【题型7】S2n与S2n-1下标的讨论和处理 【题型8】通项含有(－1)n的类型 【题型9】奇偶数列求和 【题型10】隔项数列求和（一般并项求和） 【题型11】和为等比数列求和 【题型12】插入新数列混合求和 【题型13】通项含绝对值的数列求和 【题型14】取整数列求和 数列求和常见题型梳理 一、错位相减法 类型一：（其中是等差数列，是等比数列） 类型二：（其中是等差数列，是等比数列） 二、裂项相消法 类型一：等差型 ①；② 类型二：无理型 类型三：指数型 裂项相消进阶 1、裂项相加：(-1)n 例：，本类模型典型标志在通项中含有乘以一个分式. 对于可以裂项为 2、等差数列相邻2两项之积构成的的新数列 例如： 一般式，当公差为k时： 3、一次乘指数型：分母为一次函数和指数函数相乘 例子： 一般结构 三、分组求和法 3.1如果一个数列可写成的形式，而数列，是等差数列或等比数列或可转化为能够求和的数列，那么可用分组求和法. 3.2如果一个数列可写成的形式，在求和时可以使用分组求和法. 四、倒序相加法 即如果一个数列的前项中，距首末两项“等距离”的两项之和都相等，则可使用倒序相加法求数列的前项和 【题型1】错位相减 1． 已知，若数列满足，求和：． 2． 记数列的前n项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)设m为整数，且对任意，，求m的最小值． 差比数列的其它处理方式（待定系数法） 3． 已知，求. 【题型2】裂项相消（常规） 4． 已知，证明：. 5． 已知，数列前项和，记，设数列的前项和为，求证 6． 已知正项数列的前n项和为，且满足， (1)求，(2)求 7． 已知，设，求数列的前项和. 对式子变形后再裂项：一般是分离常数 8． 已知，设，求数列的前项和． 9． 已知，记，数列的前项和为，求. 10． 已知，若，求数列的前项和. 11． 已知，证明：. 【题型3】分组求和 12． 已知，若数列满足，求数列的前项和． 13． 已知，设，数列的前项和为，求. 14． 已知，设为数列在区间中的项的个数，求数列前100项的和. 15． 已知数列的前n项和，且，数列满足，其中． (1)求和的通项公式； (2)设，求数列的前20项和． 【题型4】裂项相消（进阶） 一、裂项相加：(-1)n 例：，本类模型典型标志在通项中含有乘以一个分式. 对于可以裂项为 二、等差数列相邻2两项之积构成的的新数列 例如： 一般式，当公差为k时： 三、一次乘指数型：分母为一次函数和指数函数相乘 例子： 一般结构 16． 若，数列满足，的前n项和为，求 17． 已知，若，求的前n项和. 18． 已知，，求数列{}的前n项和 19． 已知，，求数列{}的前n项和. 20． 已知，设为数列的前项和，证明：. 21． 已知，若，求数列的前n项和 已知，，求数列的前项和． 22． 已知，记，为数列的前n项和，求． 23． 已知，设，证明：. 【题型5】并项求和 一般来说，并项求和的计算量比分组求和要小 24． 已知，若，求数列的前项和. 25． （2023秋·湖南长郡中学校考）已知是数列的前项和，，数列是公差为1的等差数列，则 . 26． 已知，记，求数列的前30项的和. 27． 已知，设，，求数列的前2n项和. 【题型6】倒序相加 28． “数学王子”高斯是近代数学奠基者之一，他的数学研究几乎遍及所有领域，并且高斯研究出很多数学理论，比如高斯函数､倒序相加法､最小二乘法､每一个阶代数方程必有个复数解等.若函数，设，则 . 29． （2023·江西南昌·统考三模）“数学王子”高斯是近代数学奠基者之一，他的数学研究几乎遍及所有领域，在数论､代数学､非欧几何､复变函数和微分几何等方面都作出了开创性的贡献.我们高中阶段也学习过很多高斯的数学理论，比如高斯函数､倒序相加法､最小二乘法等等.已知某数列的通项，则（    ） A． B． C． D． 【题型7】S2n与S2n-1下标的讨论和处理 30． 已知数列 （1）求数列的前20项和 （2）求数列的前项和. （3）求数列的前项和. （4）求数列的前项和 31． 已知，记的前n项和为，，求n的最小值. 32． （2023·湖南岳阳·统考三模）已知，若，求数列的前n项和． 【题型8】通项含有(－1)n的类型 33． 已知，若，求数列的前项和． 解题思路点拨：代入得：注意到通项中含有“”，会影响最后一项取“正还是负”，通过讨论的奇