5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质（共2课时）教案——2022-2023学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

2022—2023学年上学期高一数学教案（4） 5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质（一） 一、教学目标 1．理解周期函数、最小正周期的概念； 2．掌握正弦函数、余弦函数的周期和最小正周期； 3．会求函数及的最小正周期． 二、教学重、难点 1．掌握正弦函数、余弦函数的周期性； 2．求函数及的最小正周期． 三、教学过程 （一）创设情境 思考：类比以往对函数性质的研究，你认为应研究正弦函数、余弦函数的哪些性质？观察它们的图象，你能发现它们具有哪些性质？ 根据研究函数的经验，我们要研究正弦函数、余弦函数的单调性、奇偶性、最大（小）值等．另外，三角函数是刻画“周而复始”现象的数学模型，与此对应的性质是特别而重要的． （二）新知探究 1．周期函数的定义： 一般地，设函数的定义域为，如果存在一个非零常数，使得对每一个都有，且，那么函数就叫做周期函数．非零常数叫做这个函数的周期． 周期函数定义的几点说明： （1）周期函数的定义是对定义域中的每一个值来说的．如果只有个别的值满足，那么是不能称为的周期的． （2）从等式来看，自变量本身所加的非零常数才是周期，如，不是周期，而应写成，即是的周期． （3）不是所有的函数都是周期函数，如就不是周期函数． （4）周期函数的周期不唯一，如果是函数的周期，那么且也是函数的周期． （5）对于定义域为的周期函数，若，则必有且，因此周期函数的定义域一定既无上界也无下界． （6）函数的周期性是函数在定义域上的整体性质．若一个函数为周期函数，则只需研究它在一个周期范围内的性质，就可以知道它的整体性质． 2．最小正周期的定义： 如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做的最小正周期． 根据上述定义，我们有： 正弦函数是周期函数，且都是它的周期，最小正周期是． 余弦函数也是周期函数，且都是它的周期，最小正周期是． 对最小正周期概念的理解： （1）不是所有的周期函数都存在最小正周期．例如，常函数（为常数），所有非零实数都是它的周期，显然在非零实数组成的集合中并不存在最小的正数，所以常函数不存在最小正周期．又如函数任何一个非零有理数都是它的周期，但它也没有最小正周期． （2）说明某正数是函数的最小正周期，只需说明比该周期小的任意正数不是该函数的周期即可． 下面证明是正弦函数的最小正周期． 由于易证明是正弦函数的一个周期，所以下面只需证任何一个小于的正数都不是正弦函数的周期． 假设是正弦函数的周期，且．根据周期的定义，对任意的一个实数，都有．令，则，所以． 但当时，，与矛盾．所以假设不成立，即在区间内不存在正弦函数的周期．故是正弦函数的最小正周期． （3）若无特别说明，本书中所说的周期一般都是最小正周期． 3．与抽象函数的周期性有关的结论： （1）若函数满足，则函数是周期函数，是它的一个周期． （2）若函数满足，则的一个周期为． （3）若函数满足，则的一个周期为． （4）若函数的图象有两条对称轴，则函数是周期函数，是它的一个周期． （5）若函数的图象有两个对称中心，则函数是周期函数，是它的一个周期． （6）若函数的图象存在对称轴，对称中心，则函数是周期函数，是它的一个周期． （三）新知应用 例1 求下列函数的周期： （1）；（2）；（3）． 解：（1），有．由周期函数的定义可知，原函数的周期为． （2）令，由得，且的周期为，即， 于是，所以． 由周期函数的定义可知，原函数的周期为． （3）令，由得，且的周期为，即， 于是，所以． 由周期函数的定义可知，原函数的周期为． 思考：一般地，函数（其中为常数，且）的周期与中的哪一个有关? 事实上，令，则，且．由于，的周期为，即，于是．说明自变量只要并且至少要增加到，函数值才能重复出现，即是使等式成立的最小值．因此，函数的周期． 同理，函数（其中的周期． 例2（教材第203页练习4）设函数是以为最小正周期的周期函数，且当时，． （1）求的值； （2）当时，求函数的解析式； （3）求函数的解析式． 解：（1）因为函数是以为最小正周期的周期函数， 所以． （2）当时，，所以． 因为函数是以为最小正周期的周期函数，所以． 同理可得，当时，． （3）当时，，所以． 因为函数是以为最小正周期的周期函数，所以． 因此函数的解析式为，． （四）课内练习 1．（教材第203页练习1）等式是否成立？如果这个等式成立，能否说是正弦函数的一个周期？为什么？ 答案：成立．但