4.4 第1课时 利用二次函数解决图形问题 课件 2023-2024学年度北师大版数学九年级下册

第二章 二次函数 第1课时 利用二次函数解决图形面积问题 4 二次函数的应用 学习目标 1.能够分析和表示最大面积问题中变量之间的关系，并能运用二次函数求出最大值，增强解决问题的能力 2.经历最大面积问题的探索过程，体会二次函数是一类优化问题的数学模型，感受数学的应用价值 新课导入 壹 新课导入 求下列二次函数的顶点坐标,并说明随的变化情况： （1）y=-4x-1（配方法） （2）y=-+3x（公式法） 解：（1）y=-4x-1= ∴顶点坐标为：（2，-5）， 当x＞2时，y随x的增大而增大，当x＜2时，y随x的增大而减小 （2）a=-，b=3，c=0∴ ∴顶点坐标为（3，） 当x＞3时，y随x的增大而减小，当x＜2时，y随x的增大而增大 讲授新知 贰 讲授新知 知识点1 利用二次函数解决图形面积问题 请用长20米的篱笆设计一个矩形的菜园.怎样设计才能使矩形菜园的面积 最大？ 解：设矩形的面积为y，一边为x米，则另一边为（10-x）米，根据题意得： y=x（10-x）=+10x ∴当x= =5时，矩形面积最大=5×（10-5）=25 讲授新知 解决如此类问题“最大面积”的基本思路: 第一步:审题理解问题; 第二步:分析问题中的变量和常量,设自变量; 第三步:分析问题中的变量和常量之间的关系,建立函数的解析式; 第四步:确定自变量的取值范围; 第五步:根据顶点坐标公式或配方法求出最大值或最小值(在自变量的 取值范围内). 范例应用 例1 如图,在一个直角三角形的内部画一个矩形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上， AN=40m，AM=30m， (1).设矩形的一边AB=xm,那么AD边的长度如何表示？ (2).设矩形的面积为,当取何值时,的最大值是多少? 解：（1）∵四边形ABCD是矩形， ∴BC∥AM，BC=AD ∴BN：AN=BC：AM ∵AN=40cm，AB=xcm，AM=30cm ∴BN=（40-x）cm ∴= ∴BC=AD= （2）y=x= +30x= ∴当x=20时， 范例应用 【变式】在上一个问题中，如果把矩形改为如图所示的位置，其顶点A和点D分别在两直 角边上,BC在斜边上.其它条件不变，那么矩形的最大面积是多少？ H E 解：过点P作PH⊥AM，垂足为M，交AD于点E， ∵AN=40cm，AM=30cm，根据勾股定理可得：MN=50cm， ∴PHAM=PMPN ∴ PH=24 ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥MN，EH=AB ∴AD：MN=PE：PH 设AB=EH=xcm，则PE=（24-x）cm ∴=∴AB=50x ∴y=x（50x）=+50x 当x==12时，=300 范例应用 例2 某建筑物的窗口如图所示，它的上半部是半圆，下半部是矩形，制造窗框的材料总 长（图中所有黑线的长度和）为15m，当半圆的半径为多少时，窗户通过的光线最多？ 此时，窗户的面积是多少（结果精确到0.01m）？ 解：设半圆的半径为xm，矩形的宽为ym，窗户的面积为S． ∵材料的总长为15m， ∴4y+7x+πx＝15，∴y=（15-7x-πx）， 从而S=2x+π=-3.5+7.5x． ∵﹣3.5＜0，∴S有最大值， 当x=-=≈1.07时， ≈4.02． 答：当半圆的半径约为l.07m时，窗户通过的光线最多，此时窗户的面积约为4.02． 当堂训练 叁 当堂训练 1.如图,已知△ABC是一等腰三角形铁板余料，AB=AC=20cm,BC=24cm.若在△ABC上截出一矩形零件DEFG,使得EF在BC上,点D、G分别在边AB、AC上.问矩形DEFG的最大面积是多少? 解：（1）∵△ABC是等腰三角形，AH⊥BC，∴BH＝CH=BC， 则AH=16（cm）， 设EF＝xcm，S矩形＝y， ∵四边形DGFE是矩形， ∴DG∥BC， ∴△ADG∽△ABC， 故，即，故AP=x． ∴y＝DG•DE＝x（16-x）=+16x； ∴当x==12时，96 当堂训练 2.在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A出发，沿AB边向点B以1cm/秒的速度移 动，同时，点Q从点B出发沿BC边向点C以2cm/秒的速度移动.如果P、Q两点在分别到达B、 C两点后就停止移动，回答下列问题： （1）运动开始后第几秒时，△PBQ的面积等于8cm2 （2）设运动开始后第t秒时，五边形APQCD的面积为Scm2， 写出S与t的函数关系式，并指出自变量t的取值范围； t为何值时S最小？求出S的最小值. Q P C B A D 当堂训练 解：（1）设P、Q两点开始运动后第n秒时，△PBQ的面积等于8平方厘米， 则AP＝n，BQ＝2n， ∵AB＝6， ∴BP＝6﹣n， ∵BP×BQ＝8， ∴（6﹣n）×2n＝