第19讲 函数的单调性、极值与最值-2023-2024学年高二数学秋季讲义（人教A版2019选择性必修第一册、选择性必修第二册）

第19讲 函数的单调性、极值与最值 【人教A版2019】 ·模块一 函数的单调性 ·模块二 函数的极值与最值 ·模块三 课后作业 模块一 函数的单调性 1．函数单调性和导数的关系 (1)函数的单调性与导函数f'(x)的正负之间的关系 ①单调递增：在某个区间(a,b)上，如果f'(x)>0，那么函数y=f(x)在区间(a, b) 上单调递增； ②单调递减：在某个区间(a,b)上，如果f'(x)<0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递减. ③如果在某个区间(a,b)内恒有f'(x)=0，那么函数y=f(x)在这个区间上是一个常数函数. (2)函数值变化快慢与导数的关系 一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么在这个范围内函数值变化得快，这时， 函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较小，那么在这个范围内函数值变化得慢，函数的图象就“平缓”一些. 常见的对应情况如下表所示. 图象 f'(x)变化规律 f'(x)>0 且越来越大 f'(x)>0 且越来越小 f'(x)<0 且越来越小 f'(x)<0 且越来越大 函数值变化规律 函数值增加 得越来越快 函数值增加 得越来越慢 函数值减小 得越来越快 函数值减小 得越来越慢 【考点1 利用导数判断单调性、求单调区间】 【例1.1】（2023上·北京通州·高三统考期中）下列函数中，在区间上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【例1.2】（2023上·甘肃·高三校考阶段练习）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【变式1.1】（2023下·河北沧州·高二校考阶段练习）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【变式1.2】（2023·辽宁鞍山·鞍山一中校考二模）下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的函数是（    ） A． B． C． D． 【考点2 由函数的单调性求参数】 【例2.1】（2023下·湖北武汉·高二校联考期中）已知函数在上为减函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例2.2】（2023下·四川成都·高二校联考期中）若函数的单调递减区间为，则实数k的值为（    ） A．1 B． C．3 D． 【变式2.1】（2023上·广东汕头·高三统考期中）设，若函数在递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2.2】（2023·全国·高三专题练习）若函数恰有三个单调区间，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 模块二 函数的极值与最值 1．函数的极值 极值的相关概念 (1)极小值点与极小值： 如图，函数y=f(x)在点x=a处的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小，f'(a)=0，而且在点 x=a附近的左侧f'(x)<0，右侧f'(x)>0，则把点a叫做函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极小值. (2)极大值点与极大值： 如图，函数y=f(x)在点x=b处的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大，f'(b)=0，而且在点 x=b附近的左侧f'(x)>0，右侧f'(x)<0，则把点b叫做函数y=f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y=f(x)的极大值. (3)极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值. 2．函数的最值 (1)一般地，如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值， 并且函数的最值必在极值点或区间端点处取得.当f(x)的图象连续不断且在[a,b]上单调时，其最大值和最小值分别在两个端点处取得. (2)函数的极值与最值的区别 ①极值是对某一点附近(即局部) 而言的，最值是对函数的整个定义区间而言的. ②在函数的定义区间内，极大(小)值可能有多个(或者没有)，但最大(小)值最多有一个. ③函数f(x)的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点. 【考点3 利用导数求函数的极值】 【例3.1】（2023·全国·模拟预测）函数在区间的极大值、极小值分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【例3.2】（2023上·山西临汾·高三校联考期中）已知函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，则的极小值为（    ） A．2 B．1 C．0 D．-1 【变式3.1】（2023·河南洛阳·校联考模拟预测）已知函数及其导函数的定义域均为，且，则（    ） A．有一个极小值点，一个极大值点 B．有两个极小值点，一个极大值点 C．最多有一个极小值点，无极大值点 D．最多有一个极大值点，无极小值点 【