专题11.4 二项分布、超几何分布与正态分布（讲+练）-2024年高考数学一轮复习精讲精练宝典（新高考专用）

第十一章 概率 专题11.4 二项分布、超几何分布与正态分布 1. 理解二项分布、超几何分布的概念，能解决一些简单的实际问题. 2.借助正态曲线了解正态分布的概念，并进行简单应用． 考点一 二项分布 考点二 超几何分布 考点三 正态分布 1.n次独立重复试验与二项分布 (1)n次独立重复试验 在相同条件下重复n次伯努利试验，约定这n次试验是相互独立的，此时这n次伯努利试验也常称为n次独立重复试验. (2)二项分布 一般地，如果一次伯努利试验中，出现“成功”的概率为p，记q＝1－p，且n次独立重复试验中出现“成功”的次数为X，则X的取值范围是{0,1，…，k，…，n}，而且P(X＝k)＝Cpkqn－k(k＝0,1,2，…，n)，因此X的分布列如下表所示： X 0 1 … k … n P Cp0qn Cp1qn－1 … Cpkqn－k … Cpnq0 由于表中的第二行中的概率值恰好是二项展开式(q＋p)n＝Cp0qn＋Cp1qn－1＋…＋Cpkqn－k＋…＋Cpnq0中对应项的值，因此称X服从参数为n，p的二项分布，记作X～B(n，p). (3)两点分布与二项分布的均值、方差 ①若随机变量X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p). ②若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p). 2.超几何分布 一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X＝k)＝，k＝t，t＋1，t＋2，…，s，其中，n，N，M∈N＋，M≤N，n≤N，t＝max{0，n－N＋M}，s＝min{n，M}，如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布. 3.正态分布 (1)定义 一般地，如果随机变量X落在区间[a，b]内的概率，总是等于φμ，σ(x)对应的正态曲线与x轴在区间[a，b]内围成的面积，则称X服从参数为μ与σ的正态分布. (2)正态曲线的特点 ①曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称； ②曲线在x＝μ处达到峰值； ③当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴. (3)3σ原则 P(|X－μ|≤σ)＝P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈68.3%， P(|X－μ|≤2σ)＝P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈95.4%， P(|X－μ|≤3σ)＝P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈99.7%. (4)正态分布的均值与方差 若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝μ，D(X)＝σ2. 常用结论 1．“二项分布”与“超几何分布”的区别：有放回抽取问题对应二项分布，不放回抽取问题对应超几何分布，当总体容量很大时，超几何分布可近似为二项分布来处理． 2．超几何分布有时也记为 X～H(n，M，N)，其均值E(X)＝， D(X)＝. 题型一 二项分布 1．某人把一枚硬币抛掷100次，出现50次正面的概率（    ）（参考数据） A．小于50% B．等于50% C．大于50% D．以上都有可能 2．已知随机变量，则概率最大时，的取值为（    ） A． B． C．或 D．或 3．已知随机变量服从二项分布，即等于（    ） A． B． C． D． 4．已知某疾病的某种疗法治愈率为80%.若有100位该病患者采取了这种疗法，且每位患者治愈与否相互独立，设其中被治愈的人数为X，则下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D．存在，使得成立 5．某人在次射击中击中目标的次数为，且，记，，若是唯一的最大值，则的值为（    ） A．7 B．7.7 C．8.4 D．9.1 题型二 超几何分布 6．某党支部有10名党员，7男3女，从中选取2人做汇报演出，若X表示选中的女党员数，则（    ） A． B． C． D．1 7．课桌上有12本书，其中理科书籍有4本，现从中任意拿走6本书，用随机变量表示这6本书中理科书籍的本数，则概率为的是（    ） A． B． C． D． 8．设随机变量，且．若8名党员中有名男党员，从这8人中选4名代表，记选出的代表中男党员人数为，则（    ） A． B． C． D． 9．某竞赛小组共有13人，其中有6名女生，现从该竞赛小组中任选5人参加一项活动，用表示这5人中女生的人数，则下列概率中等于的是（    ） A． B． C． D． 10．盒中有10个螺丝钉，其中3个是坏的.现从盒中随机抽取4个，则概率是的事件为（    ） A．恰有1个是坏的 B．4个全是好的 C．恰有2个是好的 D．至多有2个是坏的 题型三 正态分布 11．从一批含有6件正品，2件次品的产品中一次性抽取3件，设抽取出的3件产品中次品数为X，则（    ） A． B． C． D． 12．已知随机变量，则的值约为（    ）