专题01 单调性及应用9种常见考法归类-解密2023-2024学年高一数学上学期期末核心微专题考点通关手册(人教A版2019必修第一册)

专题01 单调性及应用9种常见考法归类 解密2023-2024学年高一数学上学期期末核心微专题考点通关手册 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 复合函数单调性问题 考点二 利用单调性解不等式 考点三 利用单调性求解析式 考点四 利用单调性找出多元变量之间的关系 考点五 已知单调性求参数 考点六 利用单调性之间比较大小 （一）常规型 （二）轴对称型 考点七 同构出单调性后比较大小 考点八 利用单调性求最值 考点九 抽象函数的单调性 1、增、减函数的定义 （1）函数在区间上是增函数 对任意都有； 对任意都有； 对任意都有 函数在区间上的图像从左往右看，图像逐渐上升； 函数在区间上的图像上任意两点连线的斜率都大于零； （2）函数在区间上是减函数 对任意都有； 对任意都有； 对任意都有 函数在区间上的图像从左往右看，图像逐渐下降； 函数在区间上的图像上任意两点连线的斜率都小于零； 注：（1）函数在某区间上具有单调性，则函数在该区间的子区间上具有相同的单调性； （2）奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性； 2、函数单调性的判断方法 （1）定义法：在定义域内的某个区间上任取并使得，通过作差比较与的大小来判断单调性。 （2）性质法：若函数为增函数，为增函数，为减函数，为减函数，则有 ①为增函数，②为增函数， ③为减函数，④为减函数。 （3）图像法：对于含绝对值或者分段函数经常使用数形结合的思想，通过函数的图象来判断函数的单调性。由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集；二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接． （4）复合函数法：对于函数，可设内层函数为，外层函数为，可以利用复合函数法来进行求解，遵循“同增异减”，即内层函数与外层函数在区间D上的单调性相同，则函数在区间D上单调递增；内层函数与外层函数在区间D上的单调性相反，则函数在区间D上单调递减. 增函数 减函数 增函数 减函数 增函数 减函数 减函数 增函数 随着的增大而增大 随着的增大而增大 随着的增大而减小 随着的增大而减小 增函数 增函数 减函数 减函数 注：复合函数单调性问题 若函数在内单调，在内单调，且集合. (1)若是增函数，是增(减)函数，则是增(减)函数 (2)若是减函数，是增(减)函数，则是减(增)函数解决此类问题遵循以下步骤： 第一步：求函数的定义域 第二步：令内函数为，画出其图像，从而确定其函数的单调性 第三步：画出外函数的图象并确定其单调性 第四步：利用结论同增异减判断.3、函数单调性的应用 （1）比较大小．比大小常用的方法是利用单调性比大小；搭桥法，即引入中间量，从而确定大小关系；数形结合比大小。 注：一般三个数比较大小使用中间量法（一个大于1，一个介于0-1之间，一个小于0）再结合函数的图像判断大小。 （2）解不等式．在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域． 解抽象函数不等式问题（如：f(a2＋a－5)<2.）的一般步骤： 第一步：(定性)确定函数f(x)在给定区间上的单调性； 第二步：(转化)将函数不等式转化为f(M)<f(N)的形式； 第三步：(去f)运用函数的单调性“去掉”函数的抽象符号“f”，转化成一般的不等式或不等式组； 第四步：(求解)解不等式或不等式组确定解集； 第五步：(反思)反思回顾．查看关键点，易错点及解题规范． （3）利用函数单调性求参数的取值范围． ①视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数； ②二次函数的单调性与开口和对称轴（对称轴左右两侧单调性相反）有关。 ③需注意若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的； ④分段函数在定义域上的具有一种单调性，则要求分段函数在每段定义域上的单调性保持一致，还对断点处的函数值的大小有要求,如果是增函数，则在断点处左边的函数值右边的函数值，如果是减函数，则在断点处左边的函数值右边的函数值， 注意：（1）“单调区间”与“在区间上单调”的区分 ①函数的单调区间是其定义域的子集，因此，讨论函数的单调性时，应先确定函数的定义域． ②单调区间是完整的区间，在区间上单调可能只是部分单调区间． （2）含有对称轴型比大小解题方法如下： ①首先根据题中所给的函数解析式，判断函数类型，根据题中所给的条件，判断出函数图象的对称轴； ②利用