4.3.1.2等比数列的性质教学设计-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

选择性必修第二册人教版 第四章数列 4.3等比数列 第四章 数列 4.3.1 等比数列的概念 4.3.1.2 等比数列的性质 教学设计 一、新课程标准要求 知识技能 核心素养 1.探索并掌握等比数列的性质，并简化数列的运算； 2.从函数角度分析等比数列的单调性，体会等比数列与指数函数的关系； 3.能在具体问题的情境中，发现数列等比与等差的关系，并解决相应问题，提升学生的逻辑推理思想。 数学运算 逻辑推理 数学建模 二、教学法 自主式学习，启发式教学 三、教学用具 PPT课件、沃希白板、黑板等 4、 教学重难点 1、 根据等比数列的定义推出等比数列的性质； 2、从函数角度分析等比数列的单调性并灵活使用。 五、教学过程 （一）引言 《道德经》中写道：“合抱之木，生于毫末；九层之台，起于累土；千里之行，始于足下。” 《庄子·天下》中写道：“一尺之锤，日取其半，万世不竭。” 《张丘·建算经》中写道：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈。问半月织几何？” 这句古句名言不仅告诉我们许多人生哲理，还蕴藏着众多数学知识。要解决其中隐藏的数学问题就必须用到等比数列的性质，这也是本节课探究的主题。 （二）复习引入 回顾前面所学知识，完成以下几个问题： 1. 等比数列的定义是什么？需要注意的关键点是哪些？ 2. 等比数列的通项公式是什么？在推导通项公式时运用的方法是什么？ 3. 等比中项的公式是什么？ 【师生互动】学生思考2分钟，然后有学生作答。 学生1:对于一个数列，从第2项起，每一项与它的前一项的比是同一个常数（且不为零），这样的数列称为等比数列，此常数称为公比。 学生2：an=a1*qn-1=a1*qn-1=a2*qn-2=a3*qn-3=......，采用的方法是累乘法。 学生3：若三个数，，成等比数列，则叫做与的等比中项，且有A2=a*b。 （三）新知探究 自主探究一、等比数列任意两项间的关系 想一想：你能类比等差数列性质的研究，分析等比数列的性质吗？ 问题1：在等差数列中，若则 你能猜想出数列为等比数列，若 则 。 并给以证明。 证明：设等比数列的首项是a1，公比是q，则an=a1*qn-1，am=a1*qm-1,as=a1*qs-1，at=a1*qt-1,所以an*am=a1*qn-1*a1*qm-1=a12*qn+m-1,as*at=a1*qs-1*a1*qt-1=a12*qs+t-1, 所以an*am=as*at. 特别地，当m+n=2p时，则 推广：若等比数列是有穷数列，则与首末两项“等距离”的两项的积等于首末两项的积。数学符号表示为： a1·an＝a2·an－1＝a3·an－2＝… 。 此推广性质也成为等比数列的对称性。 【设计意图】采用类比的思想，通过熟悉的等差数列来分析等比数列的特点，让学生体会从熟悉到未知的探索。 合作探究二、等比数列的单调性 问题2：观察以下几个等比数列，说一说首项和公比并判断数列是递增数列还是递减数列？ （1）1，3，9，27，81...... （2）-1，-3，-9，-27，-81...... 【师生互动】本环节采用小组讨论的形式，有学生探究出问题答案。 小组成果展示，（1） （2） （3）（4） 归纳总结：递增等比数列的特点是什么？递减等比数列的特点是什么？ 说一说：若公比q=1时，等比数列是什么数列呢？若q<0，等比数列是什么数列呢？ 学生4：常数列，摆动数列。 在q<0的前提下，若a1>0则等比数列的各项呈现正负正负交替的特点；若a1<0则等比数列的各项呈现负正负正交替的特点。 思考：能不能根据通项公式的改写出发，从函数的角度分析等比数列的单调性。 【设计意图】先从具体的数列出发，归纳总结出等比数列的单调性，然后通过函数的角度加以验证，从而保证结论的正确性，提升学生从不同的角度思考问题的能力。 探究三、等比数列之间的联系 问题3：若等比数列，公比是q。问：数列 是否为等比数列，公比分别是多少？ 问题4：若等比数列是项数相同的等比数列，公比分别是q1,q2。问： 数列 是否为等比数列，公比分别是多少？并给以证明。 变形：数列 是否仍为等比数列，请举例说明？ 举例：1,1,1,1,1,... 与 -1,-1,-1,-1,-1,..... 举例：1,2,4,8,16,... 与 8,2,1/2,1/8,1/16,..... 探究四、构造新数列 已知数列是一个无穷等比