1.3 空间向量及其运算的坐标表示 同步练习-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

1.3　空间向量及其运算的坐标表示 一、必备知识基础练 1.已知向量a=(3 ,5,-1),b=(2,2,3),则向量2a-3b的坐标为(　　) A.(0,4,-11) B.(12,16,7) C.(0,16,-7) D.(12,16,-7) 2.(多选题)[2023黑龙江大庆月考]已知四边形ABCD的顶点分别是A(3,-1,2),B(1,2,-1),C(-1,1,-3),D(3,-5,3),那么以下说法中正确的是(　　) A.=(-2,3,-3) B.=(-4,6,-6) C.线段AC的中点坐标为(-2,0,-1) D.四边形ABCD是一个梯形 3.已知点A(2,-5,1),B(2,-2,4),C(1,-4,1),则向量的夹角为(　　) A.30° B.45° C.60° D.90° 4.若向量a=(1,-1,2),b=(2,1,-3),则|a+b|=(　　) A. B.2 C.3 D. 5.如图,在正方体ABCD -A1B1C1D1中,M,N分别是BC1,CD1的中点,则下列说法错误的是(　　) A.MN与CC1垂直 B.MN与AC垂直 C.MN与BD平行 D.MN与A1B1平行 6.已知向量a=(1,1,x),b=(1,2,1),c=(1,1,1),若(c+a)·2b=-2,则实数x=　　　　　. 7.已知AB,AC,AD为长方体的三条棱,且A(1,2,1),B(1,5,1),C(1,2,7),D(3,2,1),求长方体这三条棱的长和体对角线的长. 8.已知空间向量a=(2,4,-2),b=(-1,0,2),c=(x,2,-1). (1)若a∥c,求|c|; (2)若b⊥c,求cos<a,c>的值. 二、关键能力提升练 9.已知点E在正方体ABCD-A1B1C1D1的侧面AA1B1B内(含边界),F是AA1的中点,若D1E⊥CF,则tan∠BCE的最小值为(　　) A. B.-1 C.-1 D. 10.(多选题)正方体A1B1C1D1-ABCD的棱长为2,M为B1C1的中点,则下列说法正确的是(　　) A.AB1与BC1成60°角 B.若,面A1MN交CD于点E,则CE= C.点P在正方形ABB1A1边界及内部运动,且MP⊥DB1,则点P的轨迹长等于 D.E,F分别在棱DB1,A1C1上,且=2,直线EF与AD1,A1D所成角分别是α,β,则α+β= 11.如图,将边长为1的正方形AA1O1O(及其内部)绕OO1旋转一周形成圆柱,的长为的长为,其中B1与C在平面AA1O1O的同侧.则异面直线B1C与AA1所成的角的大小为　　　　　. 12.已知空间三点A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5). (1)求以AB和AC为邻边的平行四边形的面积; (2)若|a|=,且a分别与垂直,求向量a的坐标. 13.已知A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4),设a=,b=. (1)设|c|=3,c∥,求c的坐标; (2)求a与 b的夹角; (3)若ka+b与ka-2b互相垂直,求实数k的值. 三、学科素养创新练 14.在通用技术课上,老师给同学们提供了一个如图所示的木质正四棱锥模型P-ABCD,并要求同学们将该四棱锥切割成三个小四棱锥.某小组经讨论后给出如下方案:第一步,过点A作一个平面分别交PB,PC,PD于点E,F,G,得到四棱锥P-AEFG;第二步,将剩下的几何体沿平面ACF切开,得到另外两个小四棱锥.在实施第一步的过程中,为方便切割,需先在模型表面画出截面四边形AEFG,若,则的值为　　　　　. 参考答案 一、必备知识基础练 1.A　∵a=(3,5,-1),b=(2,2,3), ∴2a-3b=(6,10,-2)-(6,6,9)=(0,4,-11).故选A. 2.AD　∵A(3,-1,2),B(1,2,-1),C(-1,1,-3),D(3,-5,3), ∴=(-2,3,-3),=(4,-6,6),故A正确,B错误; 线段AC的中点坐标为,故C错误; =-2,故共线,即AB∥CD, =(0,-4,1),=(-2,-1,-2),不共线,即AD与BC不平行,故四边形ABCD为梯形.故选AD. 3.C　由已知得=(0,3,3),=(-1,1,0), 因此cos<>=, 所以向量的夹角为60°. 4.D　∵a=(1,-1,2),b=(2,1,-3), ∴a+b=(3,0,-1), ∴|a+b|=.故选D. 5.D　设正方体的棱长为1,如图,建立空间直角坐标系, 则A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),D(0,0,0),A1(1,0,1),B1(1,1,1),C1(0,1,1),M,N, ∴=,=(0,0,1), =(-1,1,0),=(-1,-1,0),=(0,1,0).=0,∴MN⊥C