专题03 函数的概念与幂函数 -2023-2024学年高一数学期末复习重难培优与单元检测（人教A版2019必修第一册）

专题03 函数的概念与幂函数 目录 【知识梳理】 2 【重点保分】 4 【重点保分一】函数的定义与求值 4 【重点保分二】求具体函数定义域 6 【重点保分三】求函数的值域 8 【重点保分四】求函数解析式 11 【重点保分五】幂函数的概念与图象 13 【难点增分】 16 【难点增分一】抽象函数与复合函数的定义域 16 【难点增分二】分段函数基本应用 19 【难点增分三】幂函数的性质及应用 23 【培优满分】 27 【培优满分一】函数图象的变换与应用 27 【培优满分二】分段函数不等式与求参 31 【技巧总结】 36 【单元检测】 39 知识梳理 1、函数的概念 概念 一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 三要素 对应关系 y＝f(x)，x∈A 定义域 x的取值范围是集合A 值域 与x对应的y的值的集合是C＝{f(x)|x∈A} 2、区间的概念 定义 名称 符号 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b] {x|a<x<b} 开区间 (a，b) {x|a≤x<b} 半开半闭区间 [a，b) {x|a<x≤b} 半开半闭区间 (a，b] {x|x≥a} [a，＋∞) {x|x>a} (a，＋∞) {x|x≤a} (－∞，a] {x|x<a} (－∞，a) 设a，b∈R，且a<b，“区间”规定如下： 实数集R为(－∞，＋∞)，其中“－∞”读作“负无穷大”，“＋∞”读作“正无穷大”. 3、函数的要素 (1)由函数的定义知， 一个函数的构成要素为定义域、对应关系和值域.函数的值域由定义域与对应关系决定. (2)同一个函数 定义域相同，对应关系完全一致，则这两个函数是同一个函数. (3)常见函数的值域 ①一次函数f(x)＝ax＋b(a≠0)的定义域为R，值域是R. ②二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的定义域是R， 当a>0时，值域为，当a<0时，值域为. 4、函数的表示方法 函数的三种表示方法 解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系 图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系 列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系 5、分段函数 (1)在函数定义域内，对于自变量x的不同取值，有着不同的对应关系，这样的函数叫做分段函数. (2)分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集. (3)作分段函数图象时，应分别作出每一段的图象. 6、幂函数的定义 一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数. 7、幂函数的图象与性质 幂函数 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x－1 定义域 R R R [0，＋∞) (－∞，0)∪(0，＋∞) 值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y∈R，且y≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增 先增后减 增 增 (0，＋∞)，(－∞，0) 公共点 都经过点(1，1) 当α>0时，y＝xα在第一象限内的图象由左向右呈上升趋势. 当α<0时，y＝xα在第一象限内图象由左向右呈下降趋势. 重点保分 【重点保分一】函数的定义与求值 【典例精讲】（多选）（2023上·广东东莞·高一东莞市东莞中学校考阶段练习）若函数，则以下说法正确的有（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 一、单选题 1．（2023上·北京·高一校考期中）下列四个图形中，不是函数图象的是（    ） A． B． C． D． 2．（2023上·江苏连云港·高一江苏省灌云高级中学校联考期中）若，那么（    ） A．0 B．3 C．15 D．30 二、多选题 3．（2023上·河南省直辖县级单位·高一校考阶段练习）已知，则满足的关系式有（    ） A． B． C． D． 三、填空题 4．（2023上·江苏连云港·高一灌云县第一中学校考期中）已知函数，若，则 . 【重点保分二】求具体函数定义域 【典例精讲】（多选）（2022上·福建厦门·高一厦门大学附属科技中学校考阶段练习）下列各组函数表示同一个函数的是（    ）． A．与 B．与 C．与 D．与 【变式训练】 一、单选题 1．（2023上·河北沧州·高一统考期中）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 2．（2023上·青海西宁·高三校考阶段练习）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（20