全等三角形和垂直平分线 培优（1）2023-2024学年沪科版八年级数学上册

全等三角形和垂直平分线培优1 1如图，已知，，添加下列条件仍不能证明的是（ ） B． C． D． 2数学课上，老师出示如下题目：“已知：．求作：．”如图是小宇用直尺和圆规的作法，根据全等三角形的性质，得到的依据是 (SAS,AAS,ASA,SSS)．其中的道理是作出△.便可得到。 2如图，在中，已知， ，．若，求的度数． 3如图, 已知：AB⊥BC于B , EF⊥AC于G , DF⊥BC于D , BC=DF．猜想线段AC与EF的关系，并证明你的结论. 4如图，公园有一条“”字形道路，其中 ∥，在处各有一个小石凳，且， 为的中点，请问三个小石凳是否在一条直线上？ 说出你推断的理由． 5已知：如图，在△ABC，△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，点C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，BE．以下四个结论： ①BD=CE；②∠ACE+∠DBC=45°；③BD⊥CE；④∠BAE+∠DAC=180°．其中正确的有哪些？说明理由　 6 如图，为等边三角形，点分别在上，且，与交于点。求的度数。 7如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F. (1)说明BE＝CF的理由； (2)如果AB＝5，AC＝3，求AE，BE的长． 8（1）已知如图，在△ABC中，BC=8，AB的中垂线交BC于D，AC的中垂线交BC与E，则△ADE的周长等于　_________　． （2） 已知如图，在△ABC中，∠DAE＝20°，AB的中垂线交BC于D，AC的中垂线交BC与E，则∠BAC等于　_________　． （3） 已知如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB的中垂线交BC于D，AC的中垂线交BC与E，则∠DAE等于　_________　． 9如图，AD是△ABC的高，AD＝BD＝4，E是AD上一点，BE＝AC＝5，S△ABC＝14，BE的延长线交AC于点F． (1)求证：△BDE≌△ADC；(2)求证：BE⊥AC；(3)求EF与AE的长． 10如图,四边形ABCD中,∠BAD=∠C=90∘，AB=AD，AE⊥BC，垂足为E. 若线段AE=2，求四边形ABCD的面积. 11如图，点在线段上，于，于．，且，，点以的速度沿向终点运动，同时点以的速度从开始，在线段上往返运动（即沿运动），当点到达终点时，，同时停止运动．过，分别作的垂线，垂足为，．设运动时间为，当以，，为顶点的三角形与全等时，求的值。 12如图，已知BE⊥AC，CF⊥AB，BM＝AC，CN＝AB.求证：AM⊥AN. 13如图①②，点E、F分别是线段AB、线段CD的中点，过点E作AB的垂线，过点F作CD的垂线，两垂线交于点G，连接AG、BG、CG、DG，且∠AGD=∠BGC． （1）线段AD和线段BC有怎样的数量关系？请说明理由； （2）当DG⊥GC时，试判断直线AD和直线BC的位置关系，并说明理由． 14已知点C为线段AB上一点，分别以AC、BC为边在线段AB同侧作△ACD和△BCE，且CA=CD，CB=CE，∠ACD=∠BCE，直线AE与BD交于点F （1）如图1，若∠ACD=60゜，直接写出∠AFB=　　； （2）如图2，若∠ACD=α，求∠AFB（用含α的式子表示）； （3）将图2中的△ACD绕点C顺时针旋转任意角度（交点F至少在BD、AE中的一条线段上），如图3．试探究∠AFB与α的数量关系，并予以证明． 15如图，在△ABC中，D为BC的中点． (1)求证：AB＋AC>2AD； (2)若AB＝5，AC＝3，求AD的取值范围． 16（1）如图，已知ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AD⊥DE于点D，BE⊥DE于点E，且点C在DE上，若AD＝5，BE＝8，求DE的长． （2）如图，已知AOB是等腰直角三角形，∠AOB＝90°，，B（1,3），求A的坐标． （3）如图，已知ABCD是正方形，C（3,2），，B（1,0），求A的坐标．D的坐标。 17如图两个等腰直角三角形ADC与EDG即DE=DG,DA=DC,∠ADC=90° ∠EDG=90°，连接AG,CE,二者相交于H. ( 等腰直角三角形要得到哪些结论？ 要联想到什么模型？ ) 问 （1）求证：AG=CE （3）AG与CE之间的夹角为多少度？ （4）连接DH，求证：DH平分角AHE（提示如图1） ( A B C D E )18如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=2AB，点D是AC的中点，将一块锐角为45°的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A、D重合，连结BE、EC．试猜想线段BE和EC的数量及位置关系，并证明你的猜想