专题32 数列的概念及性质7种常见考法归类 - 【考点通关】2023-2024学年高二数学高频考点与解题策略(人教A版2019选择性必修第二册)

专题32 数列的概念及性质7种常见考法归类 1. an与Sn的关系 数列{an}的通项an与前n项和Sn之间的关系为 an＝ 注意：根据求时，不要忽视对的验证． 2. 常见数列的通项 (1)1，2，3，4，…的一个通项公式为an＝n. (2)2，4，6，8，…的一个通项公式为an＝2n. (3)3，5，7，9，…的一个通项公式为an＝2n＋1. (4)2，4，8，16，…的一个通项公式为an＝2n. (5)－1，1，－1，1，…的一个通项公式为an＝(－1)n. (6)1，0，1，0，…的一个通项公式为an＝. (7)a，b，a，b，…的一个通项公式为an＝. (8)9，99，999，…的一个通项公式为an＝10n－1. 3.给出数列的前几项求通项时，主要从以下几个方面来考虑： ①熟悉一些常见数列的通项公式，如{n}，{2n}，{(－1)n}，{2n}，{n2}，{2n－1}等；②分式形式的数列，分子、分母分别求通项，较复杂的还要考虑分子、分母的关系；③若第n项和第n＋1项正负交错，那么用符号(－1)n或(－1)n＋1来适配；④对于较复杂数列的通项公式，可使用添项、通分、分割等方法，将数列的各项分解成若干个常见数列对应项的“和”“差”“积”“商”后再进行归纳；⑤注意通项公式的形式不一定是唯一的，如数列1，0，1，0，…的通项公式可写成an＝或an＝，甚至分段形式an＝等. 4.对于数列的通项公式要掌握： ①已知数列的通项公式，就可以求出数列的各项；②根据数列的前几项，写出数列的一个通项公式，这是一个难点，在学习中要注意观察数列中各项与其序号的变化情况，分解所给数列的前几项，看看这几项的分解中．哪些部分是变化的，哪些是不变的，再探索各项中变化部分与序号的联系，从而归纳出构成数列的规律，写出通项公式. 5. 利用数列的通项公式求某项的方法 数列的通项公式给出了第n项an与它的位置序号n之间的关系，只要用序号代替公式中的n，就可以求出数列的相应项． 6. 判断某数值是否为该数列的项的方法 先假定它是数列中的第n项，然后列出关于n的方程．若方程的解为正整数，则是数列的一项；若方程无解或解不是正整数，则不是该数列的一项． 7. 解决数列单调性问题的三种方法 数列是特殊函数，研究其性质一般都离不开函数与方程思想的应用. 解决数列单调性的方法主要有：作差比较、作商比较及结合相应函数直观判断，求最大项可通过列不等式组求. (1)作差比较法：根据an＋1－an的符号判断数列{an}是递增数列、递减数列还是常数列； an＋1－an>0⇔数列{an}是单调递增数列；an＋1－an<0⇔数列{an}是单调递减数列；an＋1－an＝0⇔数列{an}是常数列． (2)作商比较法：根据(an>0或an<0)与1的大小关系进行判断； ①当an>0时，>1⇔数列{an}是单调递增数列；<1⇔数列{an}是单调递减数列；＝1⇔数列{an}是常数列． ②当an<0时，>1⇔数列{an}是单调递减数列；<1⇔数列{an}是单调递增数列；＝1⇔数列{an}是常数列． (3) 函数法：结合相应的函数图象直观判断．　 8. 数列周期性问题 解决数列周期性问题，一般先写出前几项确定周期，再依据周期求解. 待求式中出现较大下标或已知条件中有关键恒等式，都是周期数列的“信号”. 9. 求数列的最大项与最小项的常用方法 (1)将数列视为函数f(x)当x∈N*时所对应的一列函数值，根据f(x)的类型作出相应的函数图象，或利用求函数最值的方法，求出f(x)的最值，进而求出数列的最大(小)项； (2)通过通项公式an研究数列的单调性，利用 (n≥2)确定最大项，利用 (n≥2)确定最小项； (3)比较法：若有an＋1－an＝f(n＋1)－f(n)＞0，则an＋1＞an，则数列{an}是递增数列，所以数列{an}的最小项为a1＝f(1)；若有an＋1－an＝f(n＋1)－f(n)＜0，则an＋1＜an，则数列{an}是递减数列，所以数列{an}的最大项为a1＝f(1)．　 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 数列的概念及辨析 考点二 根据规律填写数列中的某项 考点三 根据通项公式判断或写出数列中的项 考点四 根据数列递推公式写出数列的项 考点五 数列周期性的应用 考点六 数列单调性和最值问题 （一）判断数列的增减性 （二）确定数列中的最大（小）项 （三）根据数列的单调性求参数 考点七 利用an与Sn关系求通项或项 考点一 数列的概念及辨析 1．（2023上·河南平顶山·高二统考期末）下列有关数列的说法正确的是（    ） A．数列1，0