5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式(第1课时)　课件——2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

5.5.1　两角和与差的正弦、余弦和正切公式 第1课时　两角差的余弦公式 问题(1): 复习引入 问题(2): 能否用α的三角函数与β的三角函数来表示？ 1.口答： 在研究三角函数时，我们还常常遇到这样的问题：已知任意角α、β的三角函数值，如何求α+β、 α–β或 2α的三角函数值？ 下面我们先回顾平面内两点间的距离公式，并从两角差的余弦公式谈起. 如图，在坐标平面内的任意两点P1(x1, y1), P2(x2, y2), P1Q=M1M2=|x1–x2|，QP2=N1N2=|y1–y2|， 由勾股定理，可得 P1P22=P1Q2+QP22 =(x1–x2)2+(y1–y2)2, =|x1–x2|2+|y1–y2|2 由此得到平面内P1(x1, y1), P2(x2, y2) 两点间距离公式： 2.两点间距离公式 3 3.探究：已知任意角 的正弦和余弦，能否由此推出 的余弦吗？ 问题(1)图形化 问题1：一般地，如下图所示，能否求解各点坐标呢？ 问题2： 有什么关系？ 学习新知 把扇形OAP绕着点O旋转β角， 则点A,P分别与点A1,P1重合. 根据的旋转对称性可知, 弧 与弧 重合，从而 = . 所以AP= A1P1. 此公式给出了任意角α,β的正弦、余弦与其差角α－β的余弦之间的关系，称为差角的余弦公式，简记为C（α－β）. 当α=2kπ+β, k∈Z时，容易证明上式仍然成立. 所以，对于任意角α，β有， 公式有什么特点? 如何记住公式？ (1)公式的结构特征: 左边两角差的余弦，右边是同名三角函数乘积的和，可用口诀“余余正正，符号相反”记忆公式． (2)公式中的角α，β : 公式中的角α，β不仅可以是任意具体的角，而且可以也可以是一个“团体”， 如 中的“ ”相当于公式中的α，“ ”相当于公式中的β. 判断正误: (1)存在角α，β，使cos(α－β)＝cos α－cos β.(　　) (2)对于任意角α，β，总有cos(α－β)＝cos α－cos β.(　　) (3)对于任意角α，β，总有cos(α－β)＝cos αcos β－sin αsin β.(　　) 辨一辨 分析: 思考：你会求 的值吗? 利用差角余弦公式求 的值 典型例题 例1:利用公式证明： 证明： (2)学生板书． 例2.已知 求cos(α-β)的值 典型例题 已知 求 的值. 解: ∵ ∴ 巩固练习 典型例题 (1)两特殊角之差的余弦值，利用两角差的余弦公式直接展开求解． (2)已知某一个或两个角的三角函数值，求另一个角的余弦值时，应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．通过构造两角差的余弦的形式，利用公式进行计算． (3)由于和、差角与单角是相对的，因此做题过程中要根据需要灵活地进行拆角或拼角的变换． 归纳提升 巩固练习 例4. 求下列各式的值： (1)cos 40ocos 70o＋cos 20ocos 50o； (2)cos 63osin 57o＋sin 117osin 33°； (3)cos(α－20o)cos(40o＋α)＋sin(α－20o)·sin(40o＋α)； (4) cos 105o＋ sin 105o. 典型例题 解：(1)原式＝cos 40 o cos 70 o ＋sin 70 o sin 40 o ＝cos(70 o －40 o)＝cos 30 o (3)cos(α－20 o)cos(40 o ＋α)＋sin(α－20 o)sin(40 o ＋α) ＝cos[(α－20 o)－(α＋40 o)]＝cos(－60 o) 逆用cos(α－β)的公式，首先要符合 “cos αcos β＋sin αsin β ”的形式，若不符合，要根据诱导公式变形． 含有常数的式子，先将系数转化为特殊角的三角函数值，再利用两角差的余弦公式求解． 归纳提升 (2)cos(α－35°)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α) (1)cos 263°cos 203°＋sin 83°sin 23° 练习. 求下列各式的值： 巩固练习 【引申】 1、