6.4.3余弦定理、正弦定理（4）学案-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

6.4.3 余弦定理、正弦定理 （第4课时 正弦定理、余弦定理的应用举例） 【学习目标】 1.了解测量中的有关名词、术语的确切含义． 2. 能将实际问题转化为解三角形问题． 3. 能够用正、余弦定理求解与距离、高度和角度有关的实际应用问题． 【教材知识梳理】 一、实际测量中的有关名称、术语 名称 定义 图示 仰角 在同一铅垂平面内，视线在水平线上方时与水平线的夹角 俯角 在同一铅垂平面内，视线在水平线下方时与水平线的夹角 方向角 从指定方向线到目标方向线的水平角(指定方向线是指正北或正南或正东或正西，方向角小于______ ) 方位角 从正北的方向线按_______到目标方向线所转过的水平角 二．在实践中，经常会遇到测量距离、高度、角度等实际问题，这时通常需要借助_________和__________测量角和距离的工具进行测量. 【质疑辨析】(对的打“√”，错的打“×”) （1）两个不可能到达的点之间的距离无法求得．(　　) （2）测量底部不能到达的建筑物的方法不唯一.（ ） （3）若P在Q的北偏东45°，则Q在P的南偏西45°方向．(　　) （4）仰角与俯角都是目标视线与铅垂线所成的角．(　　) （5）方位角的范围是(0，π).(　　) 【教材例题变式】 例1.（源于P49例9）如图，为了测量河对岸A，B两点间的距离，在所站这一岸定一基线CD，现已测出CD＝a，∠ACD＝α，∠BCD＝β，∠BDC＝γ，∠ADC＝δ，试求AB的长． 例2.（源于P50例10）如图所示，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角为α，在塔底C处测得A处的俯角为β.已知铁塔BC部分的高为h，求出山高CD． 例3．（源于P50例11）某巡逻艇在A处发现在北偏东45°距A处8海里处有一走私船，正沿南偏东75°的方向以12海里/小时的速度向我岸行驶，巡逻艇立即以12海里/小时的速度沿直线追击，问巡逻艇最少需要多长时间才能追到走私船，并指出巡逻艇的航行方向． 【教材拓展延伸】 例4．为了测量对岸之间距离，在此岸边选取了相距1千米的两点，并测得．求之间的距离． 例5．如图所示，为测一树的高度，在地面上选取、两点，从、两点分别测得树尖的仰角为、，且、两点之间的距离为，则树的高度为（     ） A． B． C． D． 例6．如图，在海岸A处发现北偏东45°方向，距A处()海里的B处有一艘走私船．在A处北偏西75°方向，距A处2海里的C处是我方的缉私船，并奉命以海里/时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/时的速度从B处向北偏东30方向逃窜．问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？求出所需时间．(注：，结果精确到0.1) 【课外作业】 基础过关 1．从地面上观察一建在山顶上的建筑物，测得其视角为α，同时测得建筑物顶部仰角为β，则山顶的仰角为（     ） A．α＋β B．α－β C．β－α D．α 2．海面上有相距的A，B两个小岛，从A岛望C岛和B岛成的视角，从B岛望C岛和A岛成的视角，则B，C间的距离为（     ） A． B． C． D． 3．一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，2小时后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是（     ） A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 4．如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为，，此时气球的高是，则河流的宽度BC等于（ ） A． B． C． D． 5．如图，AB是底部B不可到达的一座建筑物，A为建筑物的最高点，为了测量建筑物高度AB，我们选择一条水平基线HG，使H，G，B三点在同一直线上，经测量，在G，H两点用测角仪器测得A的仰角分别是，，米，测角仪器的高是1.5米，则该建筑物的高AB约为（    ）（参考数据：）    A．13.5米 B．14.2米 C．15.2米 D．16.5米 6．（多选）如图，为了测量障碍物两侧A，B之间的距离，一定能根据以下数据确定AB长度的是（     ） A．a，b， B．，， C．a，， D．，，b 7．已知轮船和轮船同时离开岛，船沿北偏东的方向航行，船沿正北方向航行（如图）.若船的航行速度为，后，船测得船位于船的北偏东的方向上，则此时，两船相距__________. 8．在山顶铁塔上处测得地面上一点A的俯角，在塔底处测得点A的俯角，已知铁塔部分高32米，山高________．（参考数据：） 9．如图所示，有两个兴趣小组同时测量一个小区内的假山高度