6.4.3余弦定理、正弦定理（1）学案-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

6.4.3 余弦定理、正弦定理（第1课时 余弦定理） 【学习目标】 1.了解余弦定理的推导过程. 2.掌握余弦定理及其推论，会利用它们求三角形中的边角问题． 3.能运用余弦定理判断三角形的形状． 【教材知识梳理】 一．余弦定理 文字语言 三角形中任何一边的 ，等于其他两边 减去这两边与它们夹角的_____________. 符号语言 a2＝ ；b2＝ ；c2＝ 推论 cos A＝ ；cos B＝ ；cos C＝ ． 二．余弦定理及其推论的应用 1.利用余弦定理的变形判定角 在△ABC中，c2＝a2＋b2⇔C为_______；c2>a2＋b2⇔C为______；c2<a2＋b2⇔C为_______． 2.应用余弦定理我们可以解决两类解三角形问题． （1）已知三边，求 ． （2）已知 及 ，求第三边和其他两个角． 【质疑辨析】(对的打“√”，错的打“×”) （1）余弦定理揭示了三角形边角之间的关系，适用于任何三角形．(　　) （2）勾股定理是余弦定理的一种特殊情形.(　　) （3）在△ABC中，若a2<b2＋c2，则△ABC为锐角三角形．(　　) （4） 在△ABC中，已知两边和其夹角时，△ABC不唯一．(　　) （5）在△ABC中，已知三个元素可求其余三个元素．(　　) 【答案】 1． 平方 平方的和 余弦的积的两倍 b2＋c2－2bccosA a2＋c2－2accosB a2＋b2－2abcosC 二．1.直角 钝角 锐角 2.三角 两边 一角 【质疑辨析】 (1)√　(2)√　(3)×　(4)×　(5)× 【教材例题变式】 例1.（源于P43例5）已知△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，a=4，b=2，，解这个三角形. 【答案】在中，a=4，b=2，，由余弦定理， 得，而，解得， ，而，因此，，所以，，. 例2.（源于P44例6）在△ABC中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，已知b＝3，c＝3，B＝30°，则a＝________． 【答案】3或6 【详解】由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2ac cos B，所以32＝a2＋(3)2－2a×3×cos 30°，所以a2－9a＋18＝0，解得a＝3或6. 归纳总结：给出三角形的两条边和一个角解三角形时 1.若是给出两边的夹角，可以由余弦定理求第三边； 2.若是给出两边中一边的对角，可以利用余弦定理建立一元二次方程，解方程求出第三边． 【教材拓展延伸】 例3.（1）已知△ABC中，若a：b：c＝2：：(＋1)，求△ABC的各内角度数． 【答案】 ∵a：b：c＝2(＋1)，令a＝2k，b＝k，c＝(＋1)k(k>0)． 由余弦定理的推论得：cosA＝＝， ∴A＝45°，cosB＝＝，∴B＝60°. ∴C＝180°－A－B＝180°－45°－60°＝75°. （2）在△ABC中，已知a＝3，b＝5，c＝，则最大角与最小角的和为(　　) A．90° B．120° C．135° D．150° 【答案】B. 【详解】在△ABC中，因为a＝3，b＝5，c＝，所以最大角为B，最小角为A. 因为cos C＝＝＝，且C为△ABC内角， 所以C＝60°，所以A＋B＝120°.所以△ABC中的最大角与最小角的和为120°. 【归纳总结】给出三角形的三条边，解三角形时 1.已知三角形的三边求三角时，一般利用余弦定理的推论先求出两角，再根据三角形内角和定理求出第三个角. 2.利用余弦定理的推论求角时，应注意利用余弦函数在上的函数图象.当余弦值为正时，则角为锐角；当余弦值为负时，则角为钝角. 3.判断角的大小时，通常借助大边对大角，小边对小角判断最大角和最小角. 例4.(1)在△ABC中，若a＝2b cos C，则△ABC的形状为_____________． 【答案】等腰三角形　 【详解】因为a＝2b cos C＝2b·＝， 所以a2＝a2＋b2－c2，即b2＝c2，b＝c.所以△ABC为等腰三角形． (2)在△ABC中，若B＝45°，c＝a，则△ABC的形状为_______________． 【答案】等腰直角三角形 【详解】由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2ac cos B， 又c＝a，所以b2＝a2＋2a2－2a2×＝a2，所以a＝b， 即A＝B. 又B＝45°，所以△ABC为等腰直角三角形． (3)在△ABC中，若B＝60°，2b＝a＋c，则△ABC的形状为____________． 【答案】等边三角形 【详解】由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2a