第一章 空间向量与立体几何单元检测-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第一章 空间向量与立体几何 单元检测 一、单选题：（本大题共8小题，每小题5分，共40 分．在每小题四个选项中 ，只有一项是符合题目要求的） 1．在空间直角坐标系中，直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则直线与平面所成的角为（    ） A． B． C． D． 2．已知向量，，则（    ） A． B． C． D． 3．如图，在四面体中，是的中点．设，，，用，，表示，则（    ） A． B． C． D． 4．已知向量，，使成立的x为（    ） A．-6 B．6 C． D． 5．在三棱柱中，D，E，F，G分别为棱，，，的中点，若，，，则（    ） A． B． C． D． 6．直三棱柱中，，，E，F，G分别为，，的中点，则（    ） A． B． C．与所成角的余弦值为 D．点G到平面的距离为 7．已知，，且，则实数的值为（    ） A． B．3 C．4 D．5 8．是平面的一个法向量，是平面的一个法向量，则下列命题正确的是（    ） A．平行 B．垂直 C．重合 D．不垂直 二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中 ，有多项是符合题目要求的。正确选项全对得5分，正确选项不全得2分，有错误选项得0分） 9．下列命题中正确的是（    ） A．若是空间任意四点，则有 B．在空间直角坐标系中，已知点，点P关于坐标原点对称点的坐标为 C．若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面 D．任意空间向量满足 10．已知是空间中不共面的三个向量，则下列向量能构成空间的一个基底的是（    ） A． B． C． D． 11．如图，棱长为的正方体中，点，分别是棱，的中点，则（    ） A．直线平面 B． C．过，，三点的平面截正方体的截面面积为 D．三棱锥的外接球半径为 12．如图，棱长为2的正方体中，、分别为棱、的中点，为面对角线上一个动点，则（    ） A．三棱锥的体积为定值 B．直线与平面所成角为定值 C．线段上存在点，使平面平面 D．三棱锥的外接球半径的最大值为 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。 13．已知四面体，空间的一点满足，若，，，共面，则实数的值为 . 14．正方体中，M是棱的中点．记，，，那么用，，表示为 ． 15．在空间直角坐标系中，平行四边形的三个顶点分别为，，，则点的坐标为 . 16．已知平面的一个法向量，直线的方向向量，则直线与平面所成角的余弦值为 ． 四、解答题：本大题共6小题，共70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17．如图，在三棱柱中，分别为和的中点，设． (1)用表示向量； (2)若，，，求． 18．如图,给定长方体,,,点在棱的延长线上,且.设,,. (1)试用表示向量; (2)求. 19．已知正三棱锥如图所示，其中，，点D在平面内的投影为点E，点F为线段上靠近B的三等分点． (1)若，求的值； (2)求的值． 20．如图所示，平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都为2，且两两夹角为，与的交点为，点在上，且，，，. (1)用，，表示，； (2)求的长度. 21．已知空间三点，，，设，． (1)求； (2)与互相垂直，求实数的值． 22．如图，四棱台中，上、下底面均是正方形，且侧面是全等的等腰梯形，，、分别为、的中点，上下底面中心的连线垂直于上下底面，且与侧棱所在直线所成的角为. (1)求证：平面； (2)边上是否存在点，使得直线与平面所成的角的正弦值为，若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由. 数学参考答案 1．A 【分析】应用向量夹角的坐标表示求线面角的正弦值，即可得其大小. 【详解】设直线与平面所成的角为， 则，所以. 故选：A 2．D 【分析】利用空间向量的减法运算的坐标表示即可得出答案. 【详解】因为向量，， 所以. 故选：D 3．D 【分析】利用空间向量的线性运算直接得解. 【详解】由是的中点， 可知， 所以， 故选：D. 4．A 【分析】根据向量平行的坐标表示求解. 【详解】因为，则， 即，所以，所以. 故选：A 5．C 【分析】由，用将，, 表示出来，代入即可得出答案. 【详解】由D，E，F，G分别为棱，，，的中点可得：   ①   ② ③ 由①②  可得：  ④ 由②③ 可得：,即   ⑤ ④+⑤  可得，从而， 又 故选：C 6．BC 【分析】以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出与不垂直，判断A；，点到平面距离相等，判断B；与所成角的余弦值为，判断C；求出平面的法向量，利用向量法能求出点G到平面的距离，判断D. 【详解】 直三棱柱中，， 以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， ，E，F