4.5.2用二分法求方程的近似解课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

4.5.2 用二分法求方程的近似解 第四章 指数函数与对数函数 一 二 三 学习目标 了解二分法的原理 掌握二分法的实施步骤 体会二分法中蕴含的逐步逼近与程序化思想 学习目标 复习回顾 1. 说说什么是函数的零点？它与对应方程的解有何关系？ 2. 什么是函数零点存在定理？其作用是什么？ 对于函数y=f(x)，我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点。 方程f(x)=0 的实数解 函数y=f(x)的零点 函数y=f(x)与轴公共点的横坐标 一般地，如果函数 y=f(x) 在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，且有 f(a) f(b)<0 ，那么函数 y=f(x)在区间 (a,b) 内至少有一个零点. 1. 判定函数 y=f(x)零点 (即方程 f(x)=0的解)的存在性 2. 判断零点所存在的大致区间。 作用： 新课导入 问题1 我们已经知道，函数 f (x)=lnx+2x-6在区间(2，3)内存在一个零点, 进一步问题是，我们如何求出这个零点？ 下面我们来做一个模拟实验，看看对你有没有启发！ 实验：在16枚崭新的金币中，混入了一枚外表相同但重量较轻的假币，现在只有一台天平，请问：需要称几次就可发现这枚假币？ 模拟实验室 16枚金币中有一枚略轻,是假币 模拟实验室 模拟实验室 我在这里 模拟实验室 模拟实验室 我在这里 模拟实验室 模拟实验室 模拟实验室 我在这里 模拟实验室 模拟实验室 哦，找到了啊！ 　通过这个小实验，你能想到什么样的方法缩小零点所在的范围呢？ a b 新知探究 问题1 我们已经知道，函数 f (x)=lnx+2x-6在区间(2，3)内存在一个零点, 进一步问题是，我们如何求出这个零点？ 一个直观的想法是：如果能够将零点所在的范围尽量缩小，那么在一定精确度的要求下，就可以得到符合要求的零点的近似值。 为了方便，可以通过取区间中点的方法，逐步缩小零点所在的范围. 二分法：零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值。 用二分法求方程lnx+2x-6=0在区间(2, 3)内的近似解(精确度0.1) f (2)≈－1.3069<0, f (3)≈1.09806>0, 算得f (2.5)≈－0.084<0, 解: 设 f (x)= lnx+2x-6 , 原方程的近似解为x0 所以 x0 ∈(2, 3)； 取区间(2,3)的中点 x1=2.5, 所以x0∈(2.5, 3)； 取区间(2.5, 3)的中点x1=2.75, 从而x0 ∈ (2.5, 2.75)． 算得f (2.75)≈0.512>0, 由于(2 , 3) (2.5 , 3) (2.5 , 2.75) 所以零点的范围变小了. 如果重复上述步骤，那么零点所在的范围会越来越小. f (2)f (3)<0, f (2.5)f (3)<0, f (2.5)f (2.75)<0, 新知探究 新知探究 这样，我们就可以通过有限次重复相同的步骤，将零点所在的范围缩小到满足一定精确度的区间，区间内任意一点都可以作为函数零点的近似值.为了方便，我们把区间的一个端点作为零点的近似值. 区间（a，b） 中点值c f(c)的值 （2，3） 2.5 -0.084 （2.5，3） 2.75 0.512 （2.5，2.75） 2.625 0.215 （2.5，2.625） 2.562 5 0.066 （2.5，2.562 5） 2.531 25 -0.009 （2.531 25，2.562 5） 2.546 875 0.029 （2.531 25，2.546 875） 2.539 062 5 0.01 （2.531 25，2.539 062 5） 2.535 156 25 0.001 2 3 2.5 2.75 2.625 精确度|a-b| 1 0.5 0.25 0.125 0.0625 0.03125 0.015625 0.0078125 根据上表计算函数f(x)=lnx+2x-6在区间(2，3)内精确度为0.01的零点近似值？ 因为|2.5390625-2.53125|=0.007813<0.01, 所以区间(2.53125,2.5390625)内的任意一点都可以作为函数零点的近似值 所以 x= 2.53125(或2.5390625) 为函数f(x)=lnx+2x-6零点的近似值 概念生成 二分法 对于在区间[a,b]上连续不断且 f(a) f(b)<0 的函数 y=f(x), 通过不断地把函数 y=f (x) 的零点所在的区间一分为二 , 使区间的两个端点逐步逼近零点 , 进而得到零点