4.2等差数列的性质及应用课件-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

等差数列的性质与应用 复习回顾 等差数列的概念 ①从第2项起． ②每一项与它的前一项的差都等于同一个常数． 这个数列是等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，常用d表示 等差中项(1)前提:三个数a，A，b成等差数列．(2)结论:A叫做a与b的等差中项．(3)满足的关系式:2A=a+b． 复习回顾 等差数列的通项公式 递推公式 通项公式 引入新知 等差数列通项公式 通项公式的推广 1．(2022·永州高二检测)在等差数列中，a3=5，a8=10，则公差d=__________． 新知探索 ② 令②①，可得： 移项可得： 你能给出性质1的证明吗？ 等差数列通项公式的推广 ，得到公式( 习题训练 1.已知等差数列{}的首项为a1，公差为d，且a15＝8，a60＝20，求a75. 新知探索 ， 得到公式 ( 已知数列中的任意两项，只要弄清所在项的项数，就可以应用该公式来求得d. 新知探索 . 则： 因为 所以 新知探索 . 特别地，因为 令 则 习题训练 1．在等差数列{an}中，已知a1+a2+a3+a4+a5＝15，那么a3＝　 　． 解：根据等差数列的性质可知，a1+a2+a3+a4+a5＝5a3＝15，所以a3＝3． 2．已知数列{an}为等差数列，且a2+a8+a14＝2，则a4+a12＝　 　． 解：因为数列{an}为等差数列，且a2+a8+a14＝3a8＝2，所以a8＝ ，则a4+a12＝2a8＝ 习题训练 3．在等差数列{an}中，若a1+a2+a3+a4+a5＝120，则2a5﹣a7＝　 　． 变：等差数列{an}中，a1＋3a8＋a15＝120，则2a9－a10＝ 解：根据题意，因为在等差数列{an}中，有a1+a5＝a2+a4＝2a3，则有a1+a2+a3+a4+a5＝5a3＝120，变形可得a3＝24，又a3+a7＝2a5，所以2a5﹣a7＝a3＝24．故答案为：24． 习题训练 4．已知{an}是等差数列，且满足am＝n，an＝m（m≠n），则am+n等于　 　． 解：设等差数列的首项为a1，公差为d，由已知，得 ，解得 ∴am+n＝a1+（m+n﹣1）d＝（m+n﹣1）﹣（m+n﹣1）＝0．故答案为：0． 新知探索 性质3 1. 若{an}是公差为d的等差数列，则下列数列： (1){c＋an}(c为任一常数)是公差为 的等差数列； (2){c·an}(c为任一常数)是公差为 的等差数列； (3){an＋an＋k}(k为常数，k∈N*)是公差为 的等差数列．2．若{an}，{bn}分别是公差为d1，d2的等差数列，则数列{pan＋qbn}(p，q是 常数)是公差为 的等差数列．3．若数列{an}为等差数列，则每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列，即 am,am＋k,am＋2k,am＋3k, (成的新数列仍然是 习题训练 1．已知等差数列a1，a2，a3，⋯，an的公差为d，则ca1+k，ca2+k，ca3+k，⋯，can+k（c为常数且c≠0，k∈R）是（　　）A．公差为d的等差数列 B．公差为cd+k的等差数列 C．非等差数列 D．公差为cd的等差数列 解：由题意，可得（can+1+k）﹣（can+k）＝can+1﹣can＝c（an+1﹣an）＝cd，∴ca1+k，ca2+k，ca3+k，⋯，can+k是公差为cd的等差数列，故选：D． 习题训练 解：∵数列{ }是等差数列，∴其公差d＝ 习题训练 解：设数列 的公差为d，因为a3＝2，a7＝1，