3.2.1函数的单调性与最大（小）值第1课时 课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

人教A版高中数学必修第一册 3.2.1单调性与最大（小）值（第1课时） 背景 函数概念 “集合—对应”说 函数的性质 表示方法 复习回顾 函数y=f(x)(x∈A)描述了客观世界中变量之间的一种对应关系。这样，我们就可以通过研究函数的变化规律来把握客观世界中事物的变化规律。 变化中的不变性就是性质，变化中的规律性也是性质。 新课引入 观察下图中的各个函数图象，你能说出它们分别反映了相应函数的哪些性质吗？ 函数图象的上升下降、最大值或最小值、对称性等 变化中的不变性就是性质，变化中的规律性也是性质。 3432.unknown 问题：函数定义域是什么？并说明其y随x增大如何变化？函数图象在定义域内变化趋势一致吗？ 追问1：函数在定义域内的单调性是单一的吗？据此你认为函数这种变化性质反映的是函数整体性质还是局部性质？ 实例探究 函数的 单调性 追问2：你能判断 的单调性吗？ 定义域 图象变化趋势 （上升或下降） y随x增大如何变化 定义域内变化趋势是否一致 f(x)=x f(x)=x2 3433.unknown x增大 f(x)增大 x1 < x2 f(x1)< f(x2) f(x1) f(x2) 实例探究 你能说明为什么 f(x1)< f(x2)吗？ x1 x2 函数单调性的概念 概念生成 3 你能仿照增函数的定义说出减函数的定义吗？ 2 1 六 1.判断正误 × × √ 应用提升 六 则f(x1)-f(x2)=(kx1+b)-(kx2+b) =k(x1- x2) 由x1<x2 ，得 x1- x2 <0。所以 ①当k>0时，k(x1- x2)<0 ， 于是f(x1)-f(x2) <0，即f(x1)<f(x2) 这时， f (x)=kx +b是增函数。 ②当k<0时，k(x1- x2)>0 ， 于是f(x1)-f(x2) >0，即f(x1) >f(x2) 这时， f (x)=kx +b是减函数。 证明：函数f (x)=kx +b（k≠0）的定义域是R。 例题讲解 根据定义， 取值 作差 变形 定号 结论 函数的单调性 用定义证明函数的单调性的步骤: 1.取值:任取x1，x2∈D，且x1<x2； 2.作差:f(x1)－f(x2)； 3.变形:通常是因式分解或配方或通分或分子有理化等； 4.定号:判断差f(x1)－f(x2)的正负； 5.结论:指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性. 方法总结 例2 物理学中的玻意耳定律 告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减小时，压强p将增大,试用函数单调性证明之. 分析：按题意就是证明函数 在区间 上是减函数. 证明：根据单调性的定义，设V1，V2是定义域(0，+∞)上的任意两个实数，且V1<V2，则 由V1，V2∈ (0，+∞)且V1<V2，得V1V2>0, V2- V1 >0 取值 定号 作差 结论 变形 例2 物理学中的玻意耳定律 告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减小时，压强p将增大,试用函数单调性证明之. 又k>0,于是 所以，函数 是减函数.也就是说，当体积V减少时，压强p将增大. 3468.unknown 3469.unknown 3470.unknown 例3 根据定义证明函数 在区间 上单调递增。 证明： 所以，函数 在区间 上单调递增。 对勾函数 3473.unknown 3474.unknown 3475.unknown 3476.unknown 3477.unknown 3478.unknown 3479.unknown 3480.unknown 3481.unknown 1. 两个定义：增函数、减函数的定义； 3.一个数学思想：数形结合 2.两种方法 课堂小结 取值 定号 作差 变形 结论 ②(定义法)证明函数单调性，步骤: ①图象法判断函数的单调性： 增函数的图象从左到右