6-1平面向量-2024年1月广东春季数学高考 (学考）知识点总结与方法训练

平面向量-2024年1月广东春季高考 (学考）数学知识点总结与方法训练 ---------------------------------------------------知识点总结------------------------------------------------------------ 一．向量的有关概念 (1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或称模)． (2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的． (3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量．（没有方向上的规定） (4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：与任一向量平行或共线． (5)相等向量：长度相等且方向相同的向量 (6)相反向量：长度相等且方向相反的向量 二、向量的三种线性运算及运算的三种形式。 （一）加法：求两个向量和的运算 1.三角形法则：首尾连，连首尾 2.平行四边形法则：起点相同连对角 运算律: （向量不可以相除相约）, λ(μ)＝(λμ) 分配律： (λ＋μ)＝λ＋μ λ(＋)＝λ＋λ 交换律：＋＝＋ ＝ 结合律：(＋)＋＝＋(＋) （2） 减法 1.三角形法则：共起点，连终点，指向被减 2.平行四边形法则：共起点，连终点，指向被减 三、数乘：求实数λ与向量的积的运算 1.数乘意义：|λ |＝|λ|||，当λ>0时，λ与的方向相同； 当λ<0时，λ与的方向相反； 当λ＝0时，λ＝0 2.运算律：（向量不可以相除相约） （1）λ(μ)＝(λμ) （2）(λ＋μ)＝λ＋μ （3）λ(＋)＝λ＋λ 3、向量共线：如果有一个实数使那么与是共线向量；反之，如果是共线向量，那么有且只有一个实数，使，>0,两向量同向；<0,两向量反向 。给出以下情形之一：①；②存在实数（或MP=PN,等于已知是的中点）;③若三点共线.则存在实数, 反过来，若,且m+n=1时，则A、B、C三点共线， 四、向量的内积及其运算 1）向量的夹角 （1）已知两个非零向量和，作＝，＝，则∠AOB就是向量与的夹角，向量夹角的范围是[0，π] （2）夹角cos θ＝＝ 2）．平面向量的数量积 定义 设两个非零向量，b的夹角为θ，则数量||||·cos θ叫做与的数量积(或内积)，记作·，故·=||||·cos θ. 投影 ||cos θ叫做向量在方向上的投影， ||cos θ叫做向量在方向上的投影 几何意义 数量积·等于的长度||与在的方向上的投影||cos θ的乘积 五．平面向量的坐标运算 1）向量加法、减法、数乘及向量的模、向量乘法： 设＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，则 ＋＝(x1＋x2，y1＋y2)，－＝(x1－x2，y1－y2)， λ＝(λx1，λy1)，||＝. ·= x1x2＋y1y2 . 2）向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，||＝. 3）平面向量共线的坐标表示 设＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，其中≠0.，共线⇔x1y2－x2y1＝0. 4）．向量数量积的运算律 (1)·＝·. (2)(λ)·＝λ(·)＝·(λ)＝λ·. (3)(＋)·＝·c＋· 拓展：向量数量积不满足： ①消去律，即·＝·⇏＝ ②结合律，即(·)·⇏·(·)． 5）．向量在平面几何中的应用 问题类型 公式表示 共线等问题 ∥⇔＝λ⇔x1y2－x2y1＝0，其中＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，≠0 垂直问题 ⊥⇔·＝0⇔x1x2＋y1y2＝0，其中＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，且a，为非零向量 夹角问题 cos θ＝(θ为向量，b的夹角)，其中，为非零向量 长度问题 ||＝＝，其中＝(x，y)，为非零向量；向量相等： 模相等，方向相同；相反向量：模相等，方向相反。 6）、夹角问题: 向量数量积的性质：设两个非零向量，，其夹角为，则： ①； ②当，同向时，＝，特别地，；当与反向时，＝－；当为锐角时，＞0，且不同向，是为锐角的必要非充分条件(为00时也有)；当为钝角时，＜0，且不反向，是为钝角的必要非充分条件（为1800时也有）； ③非零向量，夹角的计算公式：； -----------------------------－－－－－题型方法训练--------------------------－－－- 【题模1】：平面向量的概念 1、给出下列命题： ①