7.5.1正态分布课件-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

7.5.1正态分布 教材选自新人教A版选择性必修三 X 0 1 … k … n P … … X 0 1 … k … n P … … X 0 1 P 1-p p 1.两点分布： 2.二项分布： 3.超几何分布： 问题1：离散型随机变量是什么？ 离散型随机变量：可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，我们称为离散型随机变量。 问题2：下列随机变量哪个是离散型随机变量：(1)掷一枚骰子一次，用X表示所得点数；(2)白炽灯的使用时间． 现实中, 除了前面已经研究过的离散型随机变量外, 还有大量问题中的随机变量不是离散的，它们的取值往往充满某个区间甚至整个实轴 , 但取一点的概率为0 , 我们称这类随机变量为连续型随机变量 。 问题：自动流水线包装的食盐，每袋标准质量为400g. 由于各种不可控制的因素，任意取一袋食盐，它的质量与标准质量之间或多或少会存在一定的误差(实际质量减去标准质量). 用 X 表示这种误差，则X是一个连续型随机变量. 检测人员在一次产品检验中，随机抽取了100袋食盐，获得误差 X 的观测值如下： 频率直方图 最大值 最小值 1.求极差 2.确定组距和组数（6组） 3.将数据分组 4.列频率分布表 5.画频率分布直方图 * 第四步：列出频率分布表 频率分布直方图中每个小矩形的面积表示误差落在相应区间内的频率，所有小矩形的面积之和为1. 中间高、两边低 左右大致对称 观测误差有正有负; 并大致对称地分布在X=0的两侧; 小误差比大误差出现得更频繁. （1） 0 -6 -4 2 0 -2 频率/组距 0.05 0.10 0.15 0.20 X 4 6 随着样本数据量越来越大，让分组越来越多，组距越来越小，由频率的稳定性可知，频率分布直方图的轮廓就越来越稳定，接近一条光滑的钟形曲线，如图(2)所示. （2） X 根据频率与概率的关系，可用图(3)中的钟形曲线(曲线与水平轴之间的区域的面积为1)来描述袋装食盐质量误差的概率分布. 例如，任意抽取一袋食盐，误差落在[-2, -1]内的概率，可用图中黄色阴影部分的面积表示. 频率 组距 P X -6 0 -4 -2 0 0.15 0.05 （3） 0.10 0.20 4 2 6 追问1 由函数知识可知，图(3)中的钟形曲线是一个函数. 那么，这个函数是否存在解析式呢? 答案是肯定的. 在数学家的不懈努力下，找到了以下刻画随机误差分布的解析式: 其中μ∈R，σ>0为参数. 显然，对任意的x∈R，f(x)>0，它的图象在x轴的上方，可以证明x轴和曲线之间的区域的面积为1. 我们称f(x)为正态密度函数，称它的图象为正态密度曲线，简称正态曲线. 若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为X~N(μ, σ2). 特别地，当μ=0, σ=1时，称随机变量X服从标准正态分布. 若X~N(μ, σ2)，则如图(4)所示，X取值不超过x的概率P(X≤x)为图中区域A的面积，而P(a≤X≤b)为区域B的面积. f (x) x μ a A 图 (4) B x b O 在生产中，在正常生产条件下各种产品的质量指标； 在测量中，某些物理量的测量误差； 在生物学中，某一地区同年龄人群的身高、体重、肺活量等；一定条件下生长的小麦的株高、穗长、单位面积产量； 在气象中，某地每年七月份的平均气温、平均湿度以及降雨量等，水文中的水位； 总之，正态分布广泛存在于自然现象、生产和生活实践之中。 正态分布在概率和统计中占有重要地位。 在现实生活中，很多随机变量都服从或近似服从正态分布： 正态分布的定义 追问2 观察正态曲线及相应的密度函数,你能发现正态曲线的哪些特点? 由X的密度函数及图象可以发现，正态曲线还有以下特点: (1) 曲线是单峰的，它关于直线x=μ对称； (2) 曲线在x=μ处达到峰值 (3) 当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴. f (x) x μ a A 图 (4) B x b O 追问3 一个正态分布由参数μ和σ完全确定，这两个参数对正态曲线的形状有何影响? 它们反映正态分布的哪些特征? 由于正态曲线关于x=μ对称，因此，当参数σ固定时，正态曲线的位置由μ确定，且随着μ的变化而沿x轴平移，所以参数μ反映了正态分布的集中位置，可以用均值来估计，故有E(X)=μ. x -3 μ=1 2 -1 图(5) -2 1 3 O μ=-1 μ=0 y σ=1 当μ固定时，因为正态曲线的峰值与σ成反比，而且对任意的σ>0，正态曲线与x轴之间的区域的面积总为1. 因此，当σ较小时，峰值高，曲线“瘦高”，表示随机变量X的分布比较集中；当σ较大时，峰值低，曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布比较分散，所以σ反映