函数在给定范围内的恒成立及存在性问题的处理方法讲义-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

函数在给定取值范围内“恒成立”及“存在性”问题的解决方法 课前导入： 如 对于 恒成立，其实是求 的最小值；若存在 ，使得 成立，应求 的最大值。 新课内容： 例1、 设a为实常数，是定义在R上的奇函数，当时， ，若 对一切成立，求a的取值范围。 解：由于 ，故 ； 当时， ，（并且仅当 时取 等号） 因此 应恒成立，但, 例2、设 （1）如果存在 使得成立，求满足上述条件的最大整数M； （2）如果对于任意的 ，都有 成立，求实数a的取值范围。 解：（1）存在使得成立，等价于 由于，在区间上， ， ， 则满足条件的最大整数 。 （3）对于任意的 ，都有 成立，等价于在 上，函数 由于在 上， 。 ，即恒成立。 而在[,2]上， 例3、已知是定义在上的奇函数，且，若，时， 有 成立。 （1）判断在上的单调性，并证明； （2）解不等式： ； （3）若对所有的恒成立，求实数m的取值范围。 解：（1）任取，且，则。 为奇函数 由已知得 ，又， ，即 在上单调递增。 （2）在上单调递增， （3），在上单调递增， 在上，问题转化为 ， 即 对 恒成立。 设，则 , 综上所述，实数m的取值范围是 例4、若函数 在区间上恒为正数，求实数a的取值范围。 解：由题意，问题等价于 ① 或 ② 解法一（讨论法） 令 ，其对称轴 当时， ，在上单调递增。 得 。 当时， ， 则 解得 （1） 当 ，即 时，在上单调递增， ，得 ，故 。 （2） 当，即时， ，得，矛盾，舍去。 （3）当，即时，在上单调递减， ，得 ，矛盾，舍去。 因此，使不等式组②成立的a的取值范围为 。 综上，a的取值范围为 解法二 由解法一，当时，对恒成立，故 解得 。 此时， ，则在上单调递增， ，即 。 综合方法一，可得a的取值范围为 解法三（等价转化法） 当时，不等式组②可化为 ， 即 在上恒成立。 令 ，即当时， 对 上恒成立， 即 ，如图：（以下数形结合） 结合解法一，实数a的取值范围为 解法四（分离变量法） 当时 不等式组②等价于<<对恒成立， 即 []max<<[]min， . 综合，实数a的取值范围为 解法五（数形结合法） 当时 ， ， 当时， ，即 ， 当时， ，即 . 综上，实数a的取值范围为 例5、设，若时均有，求a的取值。 解法一 由等价关系 ， 可以把已知不等式化为以下两种情况： （1） ,（2） 对（1），有 易知，函数 在 上为增函数，在区间右端点取到最大值 ， 而函数 在上是减函数， . 对（2），有 这时，对，有 ，即 即当 ，（1）在上恒成立，而（2）在恒成立， 即原不等式在恒成立。 因此，所求 解法二 将已知看成关于a的不等式，对有 比较 与 的大小，当时，有 ； 当时，有 （1） 当时， 恒成立, 即 （2） 当时，