28.2.2 应用举例 第3课时 (方位角) 课件 2022—2023学年人教版数学九年级下册

方位角问题 28.2 解直角三角形及其应用 | 28.2.2 应用举例 第3课时 | 第二十八章 锐角三角函数 知识导航 解直角三角形能解决那些实际问题？ 知识回顾 A D B E C α β α β α β α β 仰俯角相关模型 典例讲解 例1 如图，一艘海轮位于灯塔 P 的北偏东 65° 方向，距离灯塔 80 n mile 的 A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔 P 的南偏东 34° 方向上的 B 处，这时，海轮所在的 B 处距离灯塔 P 有多远（精确到 0.01 n mile）？ 方向角定义 以正南或正北方向为准，正南或正北方向线与目标方向线构成的小于 90° 的角，叫做方向角 北偏东30° 南偏西45° 30° 45° O 东 西 北 南 45° 45° 西南 O 东北 东 西 北 南 西北 东南 解：如图，在 Rt△APC 中， PC = PA·cos(90°－65°) = 80×cos25° ≈ 72.505. 在 Rt△BPC 中，∠B = 34°， 因此，当海轮到达位于灯塔P的南偏东 34° 方向时，它距离灯塔 P 大约 129.66 n mile. 例2 如图，A，B 两城市相距 200 km. 现计划在这两座城市间修筑一条高速公路 (即线段 AB)，经测量，森林保护中心 P 在 A 城市的北偏东 30° 和 B 城市的北偏西 45° 的方向上．已知森林保护区的范围在以 P 点为圆心，100 km 为半径的圆形区域内，请问：计划修筑的这条高速公路会不会穿越保护区(参考数据：≈1.732，≈1.414)？ 解：过点 P 作 PC⊥AB 于点 C， 则∠APC＝30°，∠BPC＝45°， AC＝PC·tan30°，BC＝PC·tan45°． ∵ AC＋BC＝AB， ∴ PC·tan30°＋PC·tan45°＝200， 即 PC＋PC＝200， 解得 PC ≈ 126.8 km＞100 km. 答：计划修筑的这条高速公路不会穿越保护区． 200 km C 例3 如图，海岛 A 的周围 8 海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点 B 处测得海岛 A 位于北偏东 60°，航行 12 海里到达点 C 处，又测得海岛 A 位于北偏东 30°，如果渔船不改变航向继续向东航行，有没有触礁的危险？ 北 东 A C B 60° 30° D ∵ BD∥CE∥AF， ∴∠DBA =∠BAF = 60°，∠ACE =∠CAF = 30°． ∴∠BAC =∠BAF－∠CAF = 60°－30° = 30°. 又∵∠ABC =∠DBF－∠DBA = 90°－60° = 30° =∠BAC， ∴∠ABC =∠BAC， ∴ BC = AC = 12 海里． ∴ AF = AC · cos30° = 6 ≈ 10.392 ＞ 8， 故渔船继续向正东方向行驶，没有触礁的危险． 北 东 A C B 60° 30° D E F 例4 如图，港口B 位于港口A 的南偏东37°方向，灯塔C 恰好在AB 的中点处，一艘海轮位于港口A 的正南方向，港口B 的正西方向的D 处，它沿正北方向航行5 km到达E 处，测得灯塔C 在北偏东45°方向上，这时，E 处距离港口A 有多远？(参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75) 如图，作CH⊥AD于点H. 设CH＝x， 在Rt△ACH 中，∠A＝37°， tan 37°＝ ， ∴ AH＝＝ . 在Rt△CEH 中， ∵∠CEH＝45°， ∴CH＝EH＝x. ∵ CH⊥AD，BD⊥AD， ∴CH∥BD， ∴ . ∵AC＝CB，∴AH＝HD. ∴ ＝x＋5. ∴ x≈15. ∴AE＝AH＋HE＝ ＋15≈35(km)， ∴E 处距离港口A 约35 km. 解： 知识小结 α β α β α β α β 方位角相关模型 30° 45° O 东 西 北 南 课堂练习 如图，一艘海轮位于灯塔P 的北偏东55°方向，距离灯塔2海里的A处．如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东位置，则海轮航行的距离AB 是(　　) A．2海里 B．2sin 55°海里 C．2cos 55°海里 D．2tan 55°海里 C 说明：1.从解析式猜想两条抛物线的关系。 2.从列表中两抛物线的关系，对称性等 如图，一艘轮船在A 处测得灯塔P 位于其北偏东60°方向上，轮船沿正东方向航行30海里到达B 处后，此时测得灯塔P 位于其北偏东30°方向上，此时轮船与灯塔P 的距离是(　　) A．15海里 B．30海里 C．45