2024年中考备考数学复习专题讲义 ：专题四 整式的乘法与因式分解--考点5 图形面积与乘法公式

专题四 整式的乘法与因式分解 考点5 图形面积与乘法公式 考法1 平方差公式 典例精析 [例]（1）如图1，若大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，则阴影部分的面积是（ ）。 若将图1 中的阴影部分裁剪下来，重新拼成一个如图2所示的长方形，则它的长为（ ），宽为（ ），面积为（ ）.故可得一个公式：（ ）。 （2）利用（1）中得到的公式计算： ①－2022×2024＝（ ） ②2×（3＋1）（＋1）（＋1）（＋1）（＋1）＋1. 命题点 ①平方差公式的几何意义；②平方差公式的应用. 规范解答 解：（1）根据题意，得图1中阴影部分的面积为－＝－， 图2中长方形的长为a＋b，宽为a－b，面积为（a＋b）（a－b）. 可得公式－＝（a＋b）（a－b）. （2）①－2022×2024＝＝－（2023－1）×（2023＋1）＝－＋1＝1. ②2×（3＋1）（＋1）（＋1）（＋1）（＋1）＋1＝（3－1）（3＋1）（＋1）（＋1）（＋1）（＋1）＋1 ＝（－1）（＋1）（＋1）（＋1）（＋1）＋1 ＝（－1）（＋1）（＋1）（＋1）＋1 ＝（－1）（＋1）（＋1）＋1 ＝（－1）（＋1）＋1＝－1＋1＝. 方法归纳 常见的验证平方差公式的几何图形如图所示.验证方法：利用图形的面积和作为相等关系列出等式即可验证平方差公式， 针对训练 1.如图，在一个边长为a的正方形中挖掉一个边长为b 的小正方形（a＞b），把余下的部分拼成一个长方形，通过计算阴影部分的面积，验证了一个等式，则这个等式是（ ） A.－＝（a＋b）（a－b） B.＝＋2ab＋ C.＝－2ab＋ D.－ab＝a（a－b） 2.如图，大正方形ABCM的边长为a，小正方形EBDN 的边长为b，点E在AB 上.若大正方形与小正方形的面积差为 80，则阴影部分的面积为（ ）。 3.如图，将图1中的阴影部分剪下来，拼成一个长方形（图 2）. （1）上述操作能验证的等式是（ ）。 A.－2ab＋＝ B.－＝（a＋b）（a－b） C.＋ab＝a（a＋b） （2）若－9＝12，x＋3y＝4，求x－3y的值. （3）计算： 考法2 完全平方公式 典例精析 [例]现有长与宽分别为a，b 的小长方形若干个，用两个这样的小长方形拼成的图形如图1所示，用四个相同的小长方形拼成的图形如图2所示.请认真观察图形，解答下列问题： （1）根据图中条件，请写出图1和图2所验证的关于a，b 的关系式： 图1： ；图2： 。（用含a，b的式子表示） （2）根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： ①若x＋y＝4，＋＝10，求xy 的值. ②请直接写出下列问题答案： 若2m＋3n＝5，mn＝1，则6n－4m＝ ； 若（7－m）（5－m）＝9，则＋＝ 。 （3）如图3，在长方形ABCD中，AD＝2CD＝2x，AE＝44，CG＝30，长方形EFGD 的面积是200，四边形NGDH和MEDQ都是正方形，四边形PQDH是长方形.延长MP至点T，使PT＝PQ，延长MF 至点O，使 FO＝FE，分别过点O，T 作MO，MT 的垂线，两垂线相交于点R，求四边形MORT的面积.（结果是一个具体的数值） 命题点 ①完全平方公式的几何意义；②多项式乘多项式. 规范解答 解：（1）图1中，由图可知＝， ＝＋. 因此＝＋. 图2中，由图可知＝，＝，＝4ab. 因此＝＋4ab. 故答案为＝＋＋2ab，＝＋4ab. （2）①∵＝＋＋2xy， ∴xy＝ [－（＋）]. ∵x＋y＝4，＋＝10， ∴xy＝ ×（－10）＝3. ②由图2可得＝24mn. ∵2m＋3n＝5，mn＝1，∴＝－24＝1，∴2m－3n＝±1，∴6n－4m＝±2. ∴＝＋－2（7－m）（5－m）， ∴＋＝＋2（7－m）（5－m）＝＋2×9＝22. 故答案为±2，22. （3）∵ED＝AD－AE＝2x－44，DG＝DC－CG＝x－30， ∴MT＝MO＝（2x－44）＋2（x－30）. ∵长方形EFGD 的面积是200， ∴（2x－44）（x－30）＝200， ∴2（2x－44）（x－30）＝400. 令a＝2x－44，b＝2（x－30）， ∴ab＝400，a－b＝16， ∴＝＋－2ab＝256， ∴＋＝256＋2ab＝1056， ∴四边形MORT的面积为＝＝＋－2ab＝1056＋800＝1856. 方法归纳 完全平方公式＝＋2ab＋的几何意义：总面积＝各部分面积之和。 如图1，（m＋n）（a＋b）＝ma＋mb＋na＋nb.如图2，特别地，当m＝a，n＝b时，＝＋2ab