小升初冲刺 第03讲数形结合（讲义）-六年级下册数学人教版

( 数形结合 ) ( 模块一 数列、数表中的数形结合 ) ( 知识导航 ) 1、 数列、数表中的规律 （一）数列与数表问题常用的思考方法有： （）观察：观察是解决数列数表问题的前提，许多数列数表问题首先就是找规律问题，这需要观察出突破口． （）对应：找准数列的项与项数及位置的对应关系，必要时用代数式表示出来． （3）递推关系：数列的某项与其前面某些项之间的一种代数关系． （）利用特殊位置．比如中间项，拐角，最大数或最小数等求解． （二）典型数列 （）等差数列：任意相邻两个数之间的差值是固定的； 求和公式： 末项公式： 项数公式： （）平方数数列：每一个数都能写成两个相等数相乘的形式． ( 例题精讲 ) 【例1】 试用图解法说明． （1）1+2+3+……+n=n（n+1）/2 【解析】根据下图算出第1行的和，第2行的和，……，第n行的和，再用总和除以2．将图(a)中所有1相加即是1+2+3+⋅⋅⋅+n，将图(a)旋转180度后得图(b)，两图合起来看发现每行都有n+1个1，恰有n行，因此得到1+2+3+……+n=n（n+1）/2。 （2） 1+2+3+……+（2n-1）=n2 【解析】按下图所示线路求和，同时等于正方形的面积．即为1+3+5+......+(2n−1)，按每行求和再相加得，所以有1+2+3+……+（2n-1）=n2 ． 【巩固】 计算下列算式的项数及和： 1+10+19+⋅⋅⋅+217 【解析】原式中的加数共有(217−1)+9+1=25 (项)，=(217+1)×25+2=2725 【例2】 如下图所示，有三张相同的三角形表格，每张图表上均有1个1，2个2，3个3，……，n−1个n−1，n个n；显然，每张图表上的数总和为．请回答以下问题： （1）每张图表上有几个数？ 【答案】1+2+3+……+n=n（n+1）/2 【解析】由图可得第一行有1个数，第二行有2个数，第三行有3个数，……，第n行有n个数．所以把所有行的个数加起来即可． （2）三张图表相同位置处的三个数之和总是多少？ ． 【答案】(2n+1) 【解析】三张图表相同位置处的三个数之和是一个固定的数． （3）三张图表上的数总和为多少？ ． 【答案】 【解析】三张图表的第一行的和是1个2n+1，第二行是2个2n+1，第三行是3个2n+1，……，第行n是n个2n+1．所以要求三张图表上数的总和，只要把每一行数的和加起来即可． （4）综上可得：12+22+……+n2 =___________ 【解析】用题(3)的结果除以3． 12+22+……+n2=n（n+1）（2n+1）/6 【巩固】 看图回答问题 根据图(a)，第一行数的和为1+2+3+4； 根据图(b)，左上角的1=． 第二组被连线的数的和分别为：(1+2+3+4)×( )；2+4+2=(1+2+1)×2=． 第三组被连线的数的和分别为：(1+2+3+4)×( )；3+6+9+6+3=(1+2+3+2+1)×3=． 第四组被连线的数的和分别为：(1+2+3+4)×( )；4+8+12+16+12+8+4=． 综上可知，图(a)中所有数的和为； 图(b)中所有数的和为：+++． 可以推断13＋23＋33＋……＋n3 =( ）． 【解析】2，2，3，3，4，4，10，2，3，4，(1+2+3+⋯+n)2 观察第2行、第3行和第4行，提取公因数2，3，4即可． 【例3】 平面上有个点（）且任意三个点不在同一直线上，过这些点作直线，一共能作出多少条不同的直线？ 【解析】 （1）分析，当仅有个点时，可连成条直线； 当仅有个点时，可连成条直线； 当仅有个点时，可连成条直线； 当仅有个点时，可连成条直线； （2）归纳：考察点的个数和可连成直线的条数，发现： 点的个数 可连成直线的条数 （3）提醒：平面上有个点，两点确定一条直线，取第一个点有种取法，取第二个点有种取法，所以一共可以连成条直线，但与是同一条直线故应除以，即 （4）结论： 【巩固】 试探究以下问题，平面上有个点。任意三个点不在同一直线，过任意三点作三角形，一共能作出多少个不同的三角形？ （1）分析：当仅有个点时可作__________个三角形。 当仅有个点时可作__________个三角形。 当仅有个点时可作__________个三角形。 …… （2）归纳：考察点的个数和可作三角形的个数，结果发现 点的个数 可连成三角形的个数 ( 模块 二 用图形表示数 ) 2、 图形表示数基本