第4讲 平面向量 讲义-2024届高三数学一轮复习

高中数学第4讲——平面向量 高考点析： 平面向量在高考一般是一道小题，以往是考查数量积为主要方向，近来多以基本定理的运用为主导，难度有所提升。其在解三角形、空间立体几何、解析几何方面综合较多，一般考查基础公式，因此学习平面向量重在基础运算、基本公式以及常见类型的解法。 知识框架： 题类典析： 平面向量 常考点 冷门点 易错点 平面向量的基本概念 平面向量数量积公式 外心结论 零向量的方向 平面向量的几何运算 投影公式 坐标法求最值问题 平行向量的不可传递性 平面向量的基本定理 夹角问题 面积比问题 减法法则需要共起点 平面向量的坐标运算 模长问题 投影可正可负可为零 平面向量的共线定理 利用向量转换求数量积 夹角需要共起点 平面向量证明三点共线 特殊法求数量积 平面向量三点共线定理 评卷人 得分 一、单选题 1．有下列结论： ①表示两个相等向量的有向线段，若它们的起点相同，则终点也相同； ②若，则，不是共线向量； ③若，则四边形是平行四边形； ④若，，则； ⑤有向线段就是向量，向量就是有向线段. 其中，错误的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．下列命题: ①向量与平行,则与的方向相同或相反; ②在△ABC中,必有; ③四边形ABCD是平行四边形,则; ④若非零向量与的方向相同或相反,则与之一方向相同. 其中正确的是（    ） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 3．在平行四边形中，点、分别满足，，若，，则（    ） A． B． C． D． 4．如果表示平面内所有向量的一个基底，那么下列四组向量，不能作为一个基底的是（    ） A． B． C． D． 5．已知，则下列结论中成立的是（    ） A．A，B，C三点共线 B．A，B，D三点共线 C．A，D，C三点共线 D．D，B，C三点共线 6．如图，在中，，是上的一点，若，则实数的值为（　　） A． B． C． D． 7．如图，一直线与平行四边形的两边分别交于两点，且交其对角线于，其中，， ，，则的值为 A． B． C． D． 8．已知满足，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 9．已知，，则与的夹角等于（    ） A．150° B．90° C．60° D．30° 10．设非零向量满足，则向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 11．如图，在△ABC中，AD⊥AB，，，则=（　　） A． B． C． D． 12．在平行四边形中，点分别在边上，且满足， ，若 ，，则 A． B．0 C． D．7 13．已知，，，是边上的点，且，为的外心，的值为（    ） A．8 B．10 C．18 D．9 14．已知为内的一点，满足，且的面积与的面积之比为，若在内任取一点，则该点取自的概率为（    ） A． B． C． D． 评卷人 得分 二、多选题 15．设是已知的平面向量，向量在同一平面内且两两不共线，下列说法正确的是（    ） A．给定向量，总存在向量，使； B．给定向量和，总存在实数和，使； C．给定单位向量和正数，总存在单位向量和实数，使； D．若，存在单位向量和正实数，使，则. 16．(多选)已知向量是两个非零向量，在下列四个条件中，一定能使共线的是（    ） A．且 B．存在相异实数λ，μ，使 C．x＋y＝(其中实数x，y满足x＋y＝0) D．已知梯形ABCD，其中＝，＝ 评卷人 得分 三、填空题 17．下列关于空间向量的命题中，正确的是______.（填序号） ①若空间向量、、满足，，则； ②长度相等、方向相同的两个向量是相等向量； ③平行且模相等的两个向量是相等向量； ④若两个向量相等，则它们的起点与终点相同. 18．如图，分别是边上的中线，与交于点F，设，，，则等于______ 19．已知向量， 不共线，实数满足，则__； 20．已知向量，且，则实数___________. 21．已知，是两个不共线的向量，而和共线，则实数k的值为___________ 22．如图，在中，是边上一点，是线段上一点，且，过点作直线与、分别交于点、，则___________. 23．已知向量，，，若，则___________. 24．已知向量的夹角为45°，，且，若，则________． 25．已知，，则向量在向量上的投影为______． 26．已知平面向量，则在上的投影为__________. 27．若两个非零向量、满足，则与的夹角___________. 28．平面向量与的夹角为，，则_____________． 29．已知向量满足，，，则等于_______． 30．在梯形中，，为的平分线，且，若，，则_