27.2 相似三角形（第5课时）（教学课件+教学设计+预习导学）-【一站式课堂】2023-2024学年九年级数学下册精品资源包（人教版）

相似三角形（第5课时） 　　1．相似三角形需要满足的条件： 　　（1）三个角分别相等；（2）三条边成比例． 　　基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例． 　　2．平行线分线段成比例的基本事实及推论： 　　推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例． 　　3．三角形相似的判定方法： 　　（1）三个角分别相等，三条边成比例的两个三角形相似． 　　（2）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似． 　　（3）三边成比例的两个三角形相似． 　　（4）两边成比例且夹角相等的两个三角形相似． 　　（5）两角分别相等的两个三角形相似． 　　4．直角三角形相似的判定方法： 　　（1）有一个锐角相等的两个直角三角形相似． 　　（2）两组直角边成比例的两个直角三角形相似． 　　（3）斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似． 　　1．如图，在△ABC 中，AB＝12，AC＝15，D 为 AB 上一点，且 AD＝ AB，在 AC 上取一点 E，使以 A，D，E 为顶点的三角形与△ABC 相似，则 AE＝__________________． 或10 类型一、构造相似三角形解决问题 　　解析：（1）如图①，过点 D 作 DE1∥BC 交 AC 于点 E1， 　　则△ADE1∽△ABC， 　　∴ ＝ ． 　　∵AD＝ AB，AC＝15， 　　∴AE1＝AC＝10． 　　解析：（2）如图②，在 AC 上取点 E2，使∠AE2D＝∠B， 　　则△AE2D∽△ABC， 　　∴ ＝ ． 　　∵AB＝12，AC＝15，AD＝ AB， 　　∴AD＝8， 　　∴ ＝ ．∴AE2＝ ． 　　综上可得，AE的值为 或10． 提醒 　　在解决与相似三角形有关的问题时，若仅说两个三角形相似，并未明确顶点的对应性时，则应注意分情况来构造相似三角形，不要出现漏解现象． 类型二、相似三角形的判定与圆的综合应用 　　2．如图，CD 为⊙O 的直径，弦 AB 交 CD 于点 E，连接 BD，OB． 　　（1）求证：△AEC∽△DEB； 　　（1）证明：∵ ＝ ， 　　∴∠C＝∠DBE． 　　在△AEC 和△DEB 中，∠C＝∠DBE，∠AEC＝∠DEB， 　　∴△AEC∽△DEB． 　　2．如图，CD 为⊙O 的直径，弦 AB 交 CD 于点 E，连接 BD，OB． 　　（2）若 CD⊥AB，AB＝8，DE＝2，求⊙O 的半径． 　　（2）解：∵CD⊥AB，CD 为⊙O 的直径， 　　∴BE＝AE＝ AB＝4． 　　∵△AEC∽△DEB， 　　∴ ＝ ，即 ＝ ， 　　∴CE＝8， ∴CD＝10， 　　∴⊙O 的半径为5． 归纳 判定圆中相似三角形的策略 　　对于判定圆中相似三角形的问题，通常寻找两角分别相等来证明两个三角形相似，利用“同弧或等弧所对的圆周角相等”是圆中常见的寻找等角的方法． 类型三、相似三角形与函数的综合应用 　　3．如图，在矩形 ABCD 中，AB＝3，AD＝4，动点 Q 从点 A 出发，以每秒 1 个单位长度的速度，沿 AB 向点 B 移动；同时点 P 从点 B 出发，仍以每秒 1 个单位长度的速度，沿 BC 向点 C 移动，连接 QP，QD，PD．若两个点同时运动的时间为 x s(0＜x≤3)，解答下列问题： 　　（1）设△QPD 的面积为 S，用含 x 的函数解析式表示 S；当 x 为何值时，S 有最值？并求出最值． 　　解：（1）∵四边形 ABCD 为矩形， 　　∴BC＝AD＝4，CD＝AB＝3， 　　当运动 x s 时，则 AQ＝x，BP＝x， 　　∴BQ＝AB－AQ＝3－x，CP＝BC－BP＝4－x， 　　∴S△ADQ＝ AD·AQ＝ ×4x＝2x， S△BPQ＝ BQ·BP＝ (3－x)x＝ x－ x2， S△PCD＝ PC·CD＝ (4－x)×3＝6－ x． 　　又S矩形ABCD＝AB·BC＝3×4＝12， 　　∴S＝S矩形ABCD－S△ADQ－S△BPQ－S△PCD＝12－2x－ － 　　 ＝ x2－2x＋6＝ (x－2)2＋4，即 S＝ (x－2)2＋4， 　　∴S 为开口向上的二次函数，且对称轴为直线 x＝2， 　　∴当 0＜x＜2 时，S 随 x 的增大而减小，当 2＜x≤3 时，S 随 x 的增大而增大． 　　又当 x＝0 时，S＝6，当 x＝3 时，S＝ ， 　　但在 x 的取值范围内取不到 x＝0， 　　∴