27.2 相似三角形（第3课时）（教学课件+教学设计+预习导学）-【一站式课堂】2023-2024学年九年级数学下册精品资源包（人教版）

相似三角形（第3课时） 　　目前我们学习了哪些判定三角形相似的方法？ 　　定义法：三个角分别相等，三条边成比例的两个三角形相似． 　　利用平行线判定三角形相似：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似． 　　利用三边判定三角形相似：三边成比例的两个三角形相似． 　　利用两边和夹角判定三角形相似：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似． 　　观察两副三角尺，其中有同样两个锐角（30°与 60°，或 45°与 45°）的两个三角尺大小可能不同，它们相似吗？ 问题 　　有同样两个锐角（30°与 60°，或 45°与 45°）的两个三角尺相似． 　　任意画一个△ABC，再画一个△A′B′C′，使得∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，这时∠C＝∠C′ 吗？分别度量这两个三角形的边长， 计算 ， ， ，你有什么发现？ 探究 　　根据三角形的内角和可知，∠C＝∠C′； 　　通过度量、计算可知， ＝ ＝ ； 　　所以△ABC∽△A′B′C′． A B C A′ B′ C′ 　　猜想：两角分别相等的两个三角形相似． 　　你能证明这个猜想吗？ 　　如图，在△ABC 和△A′B′C′ 中，∠A＝∠A′，∠B＝∠B′．求证△ABC∽△A′B′C′． A B C A′ B′ C′ A B C A′ B′ C′ D E 　　证明：在线段 A′B′（或它的延长线）上截取 A′D＝AB， 过点 D 作 DE∥B′C′，交 A′C′ 于点 E． 　　∵DE∥B′C′， 　　∴∠A′DE＝∠B′，△A′DE∽△A′B′C′． 　　又∠A＝∠A′，∠B＝∠B′， 　　∴∠B＝∠A′DE． 　　∵AB＝A′D， 　　∴△ABC≌△A′DE， 　　∴△ABC∽△A′B′C′． 两角分别相等的两个三角形相似． 　　一般地，我们有利用两组角判定两个三角形相似的定理： 　　符号表示： 　　∵在△ABC 和△A′B′C′ 中，∠A＝∠A′，∠B＝∠B′， 　　∴△ABC∽△A′B′C′． A B C A′ B′ C′ 　　例1　如图，Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8．E 是 AC 上一点，AE＝5，ED⊥AB，垂足为 D．求 AD 的长． 　　解：∵ED⊥AB， 　　∴∠EDA＝90° ． 　　又∠C＝90°，∠A＝∠A， 　　∴△AED∽△ABC. 　　∴ ＝ ． 　　∴AD＝ ＝ ＝4． A B C D E 归纳 判定相似找两角，隐含条件很重要 　　已知两个三角形中有一组角对应相等，只要看是否还有另一组角对应相等即可．一般地，在解题过程中要特别注意“公共角”“对顶角”“同角（或等角）的余角”等隐含条件． 　　对于两个直角三角形，除了直角相等的条件，还要满足几个条件，这两个直角三角形就相似了？ 问题 　　由三角形相似的条件可知，如果两个直角三角形满足一个锐角相等，或两组直角边成比例，那么这两个直角三角形相似． 　　我们知道，两个直角三角形全等可以用“HL”来判定，那么，满足斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似吗？ 问题 　　猜想：斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似． 　　你能证明这个猜想吗？ 　　如图，在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′ 中，∠C＝90°，∠C′＝90°， ＝ ．求证Rt△ABC∽Rt△A′B′C′． A C B A′ C′ B′ 　　分析：要证 Rt△ABC∽Rt△A′B′C′，可设法证 ＝ ＝ ．若设 ＝ ＝k，则只需证 ＝k． 　　证明：设 ＝ ＝k，则 AB＝kA′B′，AC＝kA′C′． 　　由勾股定理，得 BC＝ ，B′C′＝ ． 　　∴ ＝ 　　　　　 ＝ ＝ ＝k， 　　∴ ＝ ＝ ， 　　∴Rt△ABC∽Rt△A′B′C′． A C B A′ C′ B′ 斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似． 　　我们得到利用斜边和一条直角边判定直角三角形相似的定理： 　　符号表示： 　　∵在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′ 中， ＝