4.3.2 等比数列的前n项和公式课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

第四章 数列 4.3.2 等比数列的前n项和公式 1 一、课题导入 1.等比数列的定义与递推公式 2.等比数列的通项公式 二、引导探究1 等比数列的前n项和 数学小故事 相传，古印度的舍罕王打算重赏国际象棋的发明者——宰相西萨·班·达依尔。于是，这位宰相跪在国王面前说： 1 2 陛下，请您在这张棋盘的第一个小格内，赏给我一粒麦子；在第二个小格内给两粒，第三格内给四粒，照这样下去，每一小格都比前一小格加一倍。 陛下啊，把这样摆满棋盘上所 有64格的麦粒，都赏给您的仆人吧！ 第1格： 第2格： 第4格： 第3格： 第63格： 第64格： …… 问题1：这位聪明的宰相到底要求的是多少麦粒呢？ 麦粒总数为 追问1： 构成什么数列？ 等比数列 追问2： 应归结为什么数学问题呢？ 求等比数列的前n项和问题 思考 如何求一个等比数列的前n项和？ 这种求和方法叫错位相减法 首项 末项 公比 前n项和 项数 注意 (1)等比数列求和时，应考虑q=1与q≠1两种情况. (2)推导等比数列前n项和公式的方法：错位相减法. (3)步骤: 乘公比，错位写，对位减. 1.等比数列的前n项和公式： 1000粒麦子的质量约为40g 麦粒的总质量超过了7000亿吨 是2016~2017年世界小麦年产量（7亿多吨）的981倍，按每年7亿吨计算都要用1000多年才能满足西萨的要求；如果按人均每天吃______粮食计算,此棋盘上的粮食可供全世界_____亿人吃上约_____年. 1千克 80 240 所以国王兑现不了他的承诺. 等比数列{an}的相关公式及性质： 1.等比数列{an}的通项公式： 2.等比数列{an}的前n项和公式： 3.等比数列{an}的重要性质： 三、典型例题1 等比数列前n项和公式的应用 例1 已知数列{an}是等比数列. 例2 已知等比数列{an}的首项为－1，前n项和为Sn，若 求公比q. 二、引导探究2 等比数列前n项和的性质 三、典型例题2 等比数列前n项和的性质的应用 例3 (1)已知在等比数列{an}中，若前10项的和是10，前20项的和是30，则前30项的和是________．(2)已知等比数列{an}共有2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q＝________． 例3 (1)已知在等比数列{an}中，若前10项的和是10，前20项的和是30，则前30项的和是________． 例3 (2)已知等比数列{an}共有2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q＝________． 三、典型例题3 等差数列、等比数列和前n项和的综合应用 四、课堂小结 1.等比数列{an}的前n项和公式： 2.等比数列前n项和的性质： (2)由已知可得＝189，解得q＝2. ∴96＝3×2n－1，n＝6. 变式 在等比数列{an}中，其前n项和为Sn. (1) S2＝30，S3＝155，求Sn； (2) 若Sn＝189，a1＝3，an＝96，求q和n. 解：(1)由题意知解得或 ∴Sn＝×5n＋1－或Sn＝. 等比数列前n项和的性质： (1) 数列{an}为公比不为－1的等比数列，Sn为其前n项和，则 Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍构成等比数列． (2) 若{an}是公比为q的等比数列，则Sn＋m＝Sn＋qnSm(n，m∈N*). (3) 在等比数列{an}中，若项数为2n，则 ＝q(S奇≠0)； 若项数为2n＋1，则 ＝q(S偶≠0). 解1：∵数列{an}是等比数列，∴S10，S20－S10，S30－S20成等比数列， ∴(S20－S10)2＝S10(S30－S20)，即(30－10)2＝10×(S30－30)，S30＝70. 解2：由等比数列前n项和的性质Sm＋n＝Sn＋qnSm，可得 S20＝S10＋q10S10，即30＝10＋10q10，∴q10＝2. ∴S30＝S20＋q20S10＝30＋40＝70. 解：由题意，得 解得 ∴q＝＝＝2. $$