第十三章 轴对称 单元知识链接 2023-2024学年人教版数学八年级上册

第十三章 轴对称—2023-2024学年人教版数学八年级上册单元知识链接 【单元学习目标】 1.理解轴对称图形的概念，认识并欣赏自然界和现实生活中的轴对称图形 2.理解线段垂直平分线的概念，探索并证明线段垂直平分线的性质定理 3.能用尺规作图：作一条线段的垂直平分线；过一点作已知直线的垂线 4.能够明确在平面直角坐标系中的图形经过轴对称变换后点的坐标变化特点，并可以在平面直角坐标系中画出关于轴对称的图形 5.探索并证明等腰三角形的性质和判定方法，能用等腰三角形的性质和判定方法进行计算与证明 6.探索等腰三角形，等边三角形的轴对称性 7.探索并掌握等边三角形的性质及判定方法，并能运用它们解决问题 8.掌握有一个角是30°的直角三角形的性质 9.能运用“两点之间，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”探索最短路径问题 10.能运用“三角形两边之和大于第三边”说明最短路径的选址问题中的道理，会运用图形成轴对称的性质解决实际问题中最短路径的选址问题 【单元思维导图】 【单元知识梳理】 类型 作法 图示 原理 作线段的垂直平分线（平分） （1）分别以点为圆心，大于的长为半径向线段两侧作弧，两弧分别交与点； （2）过点作直线，所得直线即为所求 到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；两点确定一条直线 过一点作已知直线的垂线（截取+平分） 点在直线上 （1）以点为圆心，任意长为半径作弧，交直线于两点； （2）分别以点为圆心，以大于长为半径向直线上方作弧，交点为； （3）作直线即为所求 等腰三角形“三线合一”；两点确定一条直线 点在直线外 （1）在直线另一侧取点； （2）以点为圆心，长为半径画弧，交直线于两点； （3）分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在直线同侧交与点； （4）连接即为所求 圆弧上的点到圆心的距离等于半径；到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；两点确定一条直线 等腰三角形的性质 图形 数学语言 文字描述 在中，因为，所以 等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”） ①因为， 所以平分，且. ②因为， 所以，且平分. ③因为，平分，所以，且 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”） 特别提醒 （1）应用“等边对等角”“三线合一”的前提是在同一个等腰三角形中，不能乱用. （2）“三线合一”中“三线”指的是顶角平分线、底边上的高、底边上的中线，而腰上的高、中线及该腰的对角的平分线不一定重合 等腰三角形的判定 等腰三角形的判定方法 图形表示 几何推理 注意事项 定义：有两条边相等的三角形是等腰三角形 为等腰三角形 这是根据等腰三角形的定义进行判断的，任何一个图形的定义都是它的一种判定方法 定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”） “等角对等边”在同一个三角形内证两条边相等应用比较广泛，往往通过计算三角形各角的度数，也可得到角相等，在运用时要找准“边”与“角” 等边三角形的概念及性质 定义 性质 等边三角形 三条边都相等的三角形叫做等边三角形，也叫正三角形 （1）等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°. （2）等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，三条对称轴的交点称为“中心”. （3）等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性质 知识详解 （1）等边三角形每条边上的中线、高和所对角的平分线相互重合（三线合一），它们所在的直线都是等边三角形的对称轴. （2）所有的等边三角形都是等腰三角形，但并不是所有的等腰三角形都是等边三角形 等边三角形的判定 等边三角形的判定方法 （1）三条边都相等的三角形是等边三角形. （2）三个角都相等的三角形是等边三角形. （3）有一个叫角是60°的等腰三角形是等边三角形 知识详解 （1）等边三角形的定义是等边三角形的一种判定方法. （2）“三个角都相等的三角形是等边三角形”也可理解为“有两个角等于60°的三角形是等边三角形”. （3）第三种判定方法是在等腰三角形的条件下，60°的角无论是顶角还是底角都成立 线段的垂直平分线 线段的垂直平分线 图形 性质 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 直线是线段的垂直平分线，为上一点，则；反过来，若，则点在线段的垂直平分线上 判定 与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 知识详解 （1）由线段的垂直平分线的性质可直接证明线段相等，比利用两三角形全等证明更简捷.线段的垂直平分线的性质在求线段的长及平面图形的周长中都